2023NOIP A层联测17 游戏

题目大意

有一个$n\times m$的网格图，开始时有三种格子，分别为障碍，棋子和空格。

小$A$和小$B$在这个网格图上玩游戏，双方轮流行动，小$A$先行动。每次行动中，当前玩家选择一枚棋子移动，设棋子所在的格子为$(r,c)$，则移动规则如下：

• 可将格子移到$(r+1,c)$（如果$r+1\le n$）、$(r,c-1)$（如果$c>1$）、$(r,c+1)$（如果$c<m$）。特殊地，可以从$(r,1)$移到$(r,m)$，也可以从$(r,m)$移到$(r,1)$，也就是可以将每一行看作一个环。
• 棋子不能被移动到包含障碍的格子
• 一个格子可以包含多个棋子
• 棋子不能被移动到它曾经到过的格子（所有棋子各不相同，也就是到过的格子是对每个棋子分别记录的）

无法行动的玩家算负。

求在双方都采用最优策略的情况下，最终谁会获胜。

有$T$组数据。

$1\le n,m\le 1000,1\le \sum n,\sum m\le 4000$

时间限制$2000ms$，空间限制$512MB$。

题解

由于每个格子上可以有多个棋子，且每个棋子走过的路径单独记录，所以每个棋子是独立的。因此，我们可以先计算出每个位置有棋子时的$SG$值，最后再将其异或在起来，即可得到总游戏的$SG$值。

我们考虑$DP$，设$sg[x][y]$表示当前棋子一开始在$(x,y)$时的$SG$值，然后从下往上处理。我们分两种情况考虑。

当前行有至少一个包含障碍的格子

在这种情况下，每行都被障碍分成若干段。那么，对于走到这一行的棋子，它的状态只会有三种：

• 刚从上面走下来，此时可以往左右两边走
• 从右边走过来，只能往左边走
• 从左边走过来，只能往右边走

假设当前行为第$t$行，设$f[0/1][i]$表示当前是从左边或右边走过来，走到当前行的位置$i$时的$SG$值。我们分别处理从左往右走的$f$值和从右往左走的$f$值，对于每个位置$i$，我们用$sg[t+1][i]$，$f[0][i-1]$，$f[1][i+1]$三个数求$mex$来更新$sg[t][i]$。

当前行没有包含障碍的格子

在这种情况下，当一个棋子从上一行来到这一行时，假设来到了$(x,y)$，若选择往左走，来到$(x,y-1)$，则$(x,y)$就相当于变成了一个包含障碍的格子，这就转化为了包含障碍格子的情况。

我们考虑如何计算$SG$值。当从$(x,y)$走到$(x,y-1)$时，只能往左或往下走，也就是说我们要用$(x+1,y-1)$的$SG$值和$(x,y-2)$的$SG$值来更新$(x,y-1)$的$SG$值。而$(x+1,y-1)$的$SG$值在之前已经求出，所以我们需要求的就是$(x,y-2)$的$SG$值。以此类推，我们一路向左推，最终要求的就是$(x,y+1)$的$SG$值。此时只能往下走，可以直接求出$SG$值，再一路回推。

这样的话，求每个位置的$SG$值的时间复杂度都是$O(m)$的。我们考虑优化。

我们可以注意到，每个位置的$SG$值是由三个数求$mex$得来，也就是说$SG$值只会取$0,1,2,3$四个数。

假设当前行为第$t$行，设$g[0/1/2/3][j][i]$的意义如下：

• $g[0][j][i]$表示当位置$(t,1)$的$SG$值为$j$时，一路往右回推到$i$（也就是从棋子从$i$往左走到$1$），此时位置$(t,i)$的$SG$值
• $g[1][j][i]$表示当位置$(t,m)$的$SG$值为$j$时，一路往左回推到$i$（也就是从棋子从$i$往右走到$m$），此时位置$(t,i)$的$SG$值
• $g[2][j][i]$表示位置$(t,i)$的$SG$为$j$时，$i$是从$(t,1)$向左回推过来的，此时位置$(t,1)$的值
• $g[3][j][i]$表示位置$(t,i)$的$SG$为$j$时，$i$是从$(t,m)$向右回推过来的，此时位置$(t,m)$的值

那么，我们分别将$g[0][j][i]$，$g[1][j][i]$，$g[2][j][i]$，$g[3][j][i]$求出来，然后用他们来$O(1)$更新每个点的$SG$值即可。

可以参考代码方便理解。

两种情况处理每行的时间复杂度都为$O(m)$，所以总时间复杂度为$O(nm)$。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1000;
int T,n,m,ans,sg[N+5][N+5],f[2][N+5],g[4][4][N+5];
char s[2*N+5][2*N+5];
int mex(int v1,int v2,int v3){
	for(int i=0;i<=3;i++){
		if(i!=v1&&i!=v2&&i!=v3) return i;
	}
}
int gt(int i){
	return (i-1)%m+1;
}
void solve1(int t){
	memset(f,0,sizeof(f));
	for(int i=1;i<=m;i++) s[t][i+m]=s[t][i];
	int fst=1;
	while(s[t][fst]!='#') ++fst;
	for(int l=fst,r;l<m+fst;l=r){
		r=l+1;
		while(r<m+fst&&s[t][r]!='#') ++r;
		if(r==l+1) continue;
		f[0][l+1]=mex(sg[t+1][gt(l+1)],-1,-1);
		for(int i=l+2;i<r;i++) f[0][i]=mex(f[0][i-1],sg[t+1][gt(i)],-1);
		f[1][r-1]=mex(sg[t+1][gt(r-1)],-1,-1);
		for(int i=r-2;i>l;i--) f[1][i]=mex(f[1][i+1],sg[t+1][gt(i)],-1);
		for(int i=l+1;i<=r-1;i++){
			int v1=-1,v2=-1;
			if(i>l+1) v1=f[0][i-1];
			if(i<r-1) v2=f[1][i+1];
			sg[t][gt(i)]=mex(v1,v2,sg[t+1][gt(i)]);
		}
	}
}
void solve2(int t){
	if(m==1){
		sg[t][1]=mex(sg[t+1][1],-1,-1);
		return;
	}
	memset(g,0,sizeof(g));
	for(int j=0;j<=3;j++){
		g[0][j][1]=j;
		g[1][j][m]=j;
		g[2][j][1]=j;
		g[3][j][m]=j;
	}
	for(int i=2;i<=m;i++)
	for(int j=0;j<=3;j++) g[0][j][i]=mex(g[0][j][i-1],sg[t+1][i],-1);
	for(int i=m-1;i>=1;i--)
	for(int j=0;j<=3;j++) g[1][j][i]=mex(g[1][j][i+1],sg[t+1][i],-1);
	for(int i=2;i<=m;i++)
	for(int j=0;j<=3;j++) g[2][j][i]=g[2][mex(j,sg[t+1][i-1],-1)][i-1];
	for(int i=m-1;i>=1;i--)
	for(int j=0;j<=3;j++) g[3][j][i]=g[3][mex(j,sg[t+1][i+1],-1)][i+1];
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int v1=-1,v2=-1,now;
		int nxt=gt(i+1),ed=g[3][mex(sg[t+1][nxt],-1,-1)][nxt];
		if(i==1) v1=ed;
		else{
			if(i==m) now=mex(sg[t+1][1],-1,-1);
			else now=mex(sg[t+1][1],ed,-1);
			v1=g[0][now][i-1];
		}
		int lst=gt(i-1+m),bg=g[2][mex(sg[t+1][lst],-1,-1)][lst];
		if(i==m) v2=bg;
		else{
			if(i==1) now=mex(sg[t+1][m],-1,-1);
			else now=mex(sg[t+1][m],bg,-1);
			v2=g[1][now][i+1];
		}
		sg[t][i]=mex(v1,v2,sg[t+1][i]);
	}
}
int main()
{
	freopen("game.in","r",stdin);
	freopen("game.out","w",stdout);
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		memset(sg,-1,sizeof(sg));
		for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%s",s[i]+1);
		for(int i=n;i>=1;i--){
			int fl=0;
			for(int j=1;j<=m;j++){
				if(s[i][j]=='#'){
					fl=1;break;
				}
			}
			if(fl) solve1(i);
			else solve2(i);
		}
		ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=m;j++){
				if(s[i][j]=='B') ans^=sg[i][j];
			}
		}
		if(ans) printf("A\n");
		else printf("B\n");
	}
	return 0;
}