2023NOIP A层联测10 集合

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文章讨论了一个关于整数n和大小为m的可重集B的计算问题，通过一系列操作将n变为其他数，分析了取值个数并提出了一种时间复杂度为O(n√nlogn)的解决方案。

题目大意

你有一个正整数 $n$ 和一个大小为 $m$ 的可重集 $B$ 。

每次你可以可重集 $B$ 中选择一个数 $x$ ，将 $x$ 变为 $⌊nx⌋\lfloor \dfrac nx\rfloor$ 。

问通过上述操作，能将 $n$ 变成多少种不同的数。

$1≤n≤1015,1≤x≤1015,1≤m≤101\leq n\leq 10^{15},1\leq x\leq 10^{15},1\leq m\leq 10$

时间限制 $1 s$ 。

题解

首先，我们知道， $⌊nd⌋\lfloor \dfrac nd\rfloor$ 的取值个数是 $O(n)O(\sqrt n)$ 的。证明如下：

当 $1≤d≤n1\leq d\leq \sqrt n$ 时，最多有 $n\sqrt n$ 个 $d$ ，也就是 $n\sqrt n$ 个 $⌊nx⌋\lfloor \dfrac nx\rfloor$ ，故此时取值个数是 $O(n)O(\sqrt n)$ 的
当 $n<d≤n\sqrt n<d\leq n$ 时， $1≤⌊nx⌋≤n1\leq \lfloor \dfrac nx\rfloor\leq \sqrt n$ ，故此时取值个数是 $O(n)O(\sqrt n)$ 的

所以， $⌊nd⌋\lfloor \dfrac nd\rfloor$ 的取值个数是 $O(n)O(\sqrt n)$ 的。

直接搜索，然后用 $ma p$ 记录每个值是否被搜索过。不过，因为调用 $ma p$ 还要一个 $log⁡\log$ 的时间复杂度，所以我们考虑小于等于 $n\sqrt n$ 的数用一个数组标记，大于 $n\sqrt n$ 的数用 $ma p$ 标记。

时间复杂度为 $O(nlog⁡n)O(\sqrt n\log n)$ 。

最坏情况下的数据如下：

1000000000000000 10
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

如果用上述方法来实现，这个数据只要跑不到 $500 m s$ ，所以是可以过的。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int m;
long long n,ans=0,x[15];
bool z[33000005];
map<long long,bool>mp;
void dfs(long long t){
	if(t<=sqrt(n)){
		if(z[t]) return;
		z[t]=1;
	}
	else{
		if(mp[t]) return;
		mp[t]=1;
	}
	++ans;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		dfs(t/x[i]);
	}
}
int main()
{
//	freopen("set.in","r",stdin);
//	freopen("set.out","w",stdout);
	scanf("%lld%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%lld",&x[i]);
		if(x[i]==1){
			--i;--m;
		}
	}
	sort(x+1,x+m+1);
	m=unique(x+1,x+m+1)-x-1;
	dfs(n);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}