2023NOIP A层联测10 子序列

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文章讨论了如何解决一个关于字符串的好子序列查询问题，通过预处理字符出现频率和段落信息，利用动态规划和字符组合分析，以O(nv+mv^2)的时间复杂度求解最长好子序列及其表示的两个字符。

题目大意

给定一个长度为 $n$ 的仅由小写字母构成的字符串 $S$ 。我们定义一个字符串是好的，当且仅当它可以用两个不同的字母 $x$ 和 $y$ 表示成 $xyxyxyx…xyxyxyx\dots$ 的形式。比如字符串 $abab$ 、 $t o t$ 、 $a$ 是好的，但字符串 $ab c$ 、 $aa$ 不是好的。

现在有 $q$ 组询问，每次给定 $1≤l≤r≤n1\leq l\leq r\leq n$ ，求 $S$ 的子串 $S[l⋯r]S[l\cdots r]$ 的最长的一个好的子序列的长度是多少，以及它可以被哪两个字符 $x$ 和 $y$ 来表示。如果有多个最长的串，则输出字典序最小的一个串的 $x$ 和 $y$ 。

$1≤n≤1.5×106,1≤m≤1051\leq n\leq 1.5\times 10^6,1\leq m\leq 10^5$

题解

对每个字符 $i$ ，考虑在只保留它时序列被分为若干段（???i??i???i??），预处理 $zt_{i,j,k}$ 表示只保留字符 $i$ 时字符 $j$ 能否在第 $k$ 段出现，并用 $f_{i,j,k}$ 记录 $zt_{i,j,k}$ 的前缀和。预处理 $lt_{i,j}$ 和 $rt_{i,j}$ ，分别表示在 $i$ 之前的第一个字符 $j$ 和在 $i$ 之后的第一个字符 $j$ 。因为所有 $i$ 的数量的和为 $n$ ，所以这部分的时间复杂度为 $O (n v)$ ，其中 $v$ 为字符的个数，也就是小写字母的个数，即 $26$ 。

对于一组询问 $l, r$ ，枚举一种字符 $i$ ，用 $lt$ 和 $r t$ 来确定这段区间中 $c$ 第一次出现的位置 $v l$ 和最后一次出现的位置 $v r$ ，求出这两个位置的段标号 $b l$ 和 $b r$ ，再枚举第二种字符 $j$ ，那么整段的贡献为 $f_{i,j,br}-f_{i,j,bl-1}$ 。对于两边的散块，用 $lt$ 和 $r t$ 来求贡献即可。这部分的时间复杂度为 $O(mv^2)$ 。

总时间复杂度为 $O(nv+mv^2)$ 。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1500000,M=100000,K=26;
int n,m,l,r,ans,zt[N+5],id[N+5],lt[K][N+5],rt[K][N+5];
char v1,v2,s[N+5];
vector<int>w[K],f[K][K];
int main()
{
//	freopen("seq.in","r",stdin);
//	freopen("seq.out","w",stdout);
	scanf("%s",s+1);
	n=strlen(s+1);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		id[i]=w[s[i]-'a'].size();
		w[s[i]-'a'].push_back(i);
	}
	for(int i=0;i<26;i++){
		for(int k=0;k+1<w[i].size();k++){
			for(int j=w[i][k]+1;j<w[i][k+1];j++){
				zt[s[j]-'a']=1;
			}
			for(int j=0;j<26;j++){
				f[i][j].push_back(zt[j]);zt[j]=0;
				if(k) f[i][j][k]=f[i][j][k]+f[i][j][k-1];
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<26;i++){
		lt[i][0]=0;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			lt[i][j]=lt[i][j-1];
			if(s[j]-'a'==i) lt[i][j]=j;
		}
		rt[i][n+1]=n+1;
		for(int j=n;j>=1;j--){
			rt[i][j]=rt[i][j+1];
			if(s[j]-'a'==i) rt[i][j]=j;
		}
	}
	scanf("%d",&m);
	while(m--){
		scanf("%d%d",&l,&r);
		ans=0;
		for(int i=0;i<26;i++){
			int vl=rt[i][l],vr=lt[i][r];
			if(vl>vr) continue;
			if(vl>=n+1||vr<=0) continue;
			int bl=id[vl],br=id[vr];
			for(int j=0;j<26;j++){
				if(i==j) continue;
				if(rt[i][l]>rt[j][l]) continue;
				int tmp=0;
				if(br) tmp+=f[i][j][br-1];
				if(bl) tmp-=f[i][j][bl-1];
				tmp=tmp*2+1;
				if(rt[j][vr]<=r||lt[j][vl]>=l) ++tmp;
				if(tmp>ans){
					ans=tmp;
					v1='a'+i;v2='a'+j;
				}
			}
		}
		printf("%d %c%c\n",ans,v1,v2);
	}
	return 0;
}