微积分物理题（原创）

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于 2023-07-30 20:23:18 首次发布

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在一个粗糙的平面上，有一个质量为 $1kg1\text{kg}$ 的小木块，小木块的初速度为 $0$ ，小木块与平面的动摩擦因数 $μ=0.2\mu=0.2$ 。有一个拉力 $F$ 拉动小木块从左往右移动，拉力 $F$ 与时间 $t$ 的关系为 $F=0.3t^2-2.4t+5.6$ 。（ $g$ 取 $10N/kg10\text{N/kg}$ ）
（1）求小木块在前 $10s10\text{s}$ 的运动距离。
（2）求拉力在前 $10s10\text{s}$ 对小木块做的功。

解：
$\qquad$ （1）小木块的动摩擦力为 $f=μFN=μmg=2Nf=\mu F_N=\mu mg=2N$

$\qquad$ 小木块受到向右的作用力为 $F_{1}=F-f=0.3t^2-2.4t+3.6$

$\qquad$ 由牛顿第二定律，小木块的加速度 $a=F1m=0.3t2−2.4t+3.6=0.3(t−2)(t−6)a=\dfrac{F_1}{m}=0.3t^2-2.4t+3.6=0.3(t-2)(t-6)$

$\qquad$ 则小木块的速度 $v=∫dv=∫adt=0.1t3−1.2t2+3.6t+Cv=\int dv=\int adt=0.1t^3-1.2t^2+3.6t+C$

$\qquad$ 因为小木块的初速度为 $0$ ，所以 $t = 0$ 时 $v = 0$ ，得 $C = 0$

$\qquad$ 当速度为 $0$ 且拉力小于小木块的动摩擦力时，小木块受到静摩擦力，加速度为 $0$

$\qquad$ 设小木块由受动摩擦力转为静摩擦力的时间为 $t_1$ ，则 $t1∈(2,6)t_1\in (2,6)$ 且 $∫0t1adt=0\int_0^{t_1}adt=0$

$\qquad$ 即 $t1∈(2,6)t_1\in(2,6)$ 且 $0.1t_1^3-1.2t_1^2+3.6t_1=0$ ，解得 $t_1$ 无解

$\qquad$ 所以小木块一直受到动摩擦力，小木块受到摩擦力恒为 $2 N$

$\qquad$ 小木块的运动距离为 $s=∫010vdt=∫010(0.1t3−1.2t2+3.6t)dt=(0.025t4−0.4t3+1.8t2)∣010=30ms=\int_0^{10}vdt=\int_0^{10}(0.1t^3-1.2t^2+3.6t)dt=(0.025t^4-0.4t^3+1.8t^2)\bigg\vert_0^{10}=30m$