2023“钉耙编程”中国大学生算法设计超级联赛（2）Fencing the cows

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该问题是一个几何算法题，要求用最少的围栏点包围所有牧草点。关键在于构建围栏点的凸包，并利用叉积判断牧草点是否在边的左侧。通过Floyd算法求解最小环，确保所有牧草点被包围。时间复杂度为O(n^2m+n^3)。给出的代码实现该算法。

2023“钉耙编程”中国大学生算法设计超级联赛（2）Fencing the cows

题目大意

有 $n$ 个围栏点和 $m$ 个牧草点，你需要从这 $n$ 个点中选择尽可能少的围栏点，使得这些围栏点能包围所有牧草点。注意牧草点不能与围栏点相交。

有 $t$ 组数据。

$1\le t\leq 10,1\leq n,m\leq 500$

数据保证 $\sum n\leq 4000,\sum m\leq 4000$

题解

显然，这 $n$ 个点组成一个凸包，这 $m$ 个牧草点肯定在凸包的边的同一侧。但如果只判断是同侧，就可能会得出一个没有包围任何牧草点的凸包。所以，我们给每条边定为单向边，并规定 $m$ 个牧草点都要在这条边的左侧，这样就能避免上述情况。判断一个点是否在一条边的左侧可以用叉积来解决。

将 $n$ 个围栏点两两组成单向边，如果 $m$ 个牧草点不满足都位于边的左侧，那么这条边不合法。然后，对所有的合法边做一次 $\text{Floyd}$ 来求最小环即可。

时间复杂度为 $O(n^2m+n^3)$ 。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf=1e9;
int t,n,m,ans,f[505][505];
struct node{
	int x,y;
}a[505],b[505];
long long check(node ax,node bx,node cx){
	return 1ll*(ax.x-cx.x)*(bx.y-cx.y)-1ll*(bx.x-cx.x)*(ax.y-cx.y);
}
int main()
{
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
		}
		for(int i=1;i<=m;i++){
			scanf("%d%d",&b[i].x,&b[i].y);
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++){
				if(i==j){
					f[i][j]=inf;continue;
				}
				f[i][j]=1;
				for(int k=1;k<=m;k++){
					if(check(a[i],a[j],b[k])<=0){
						f[i][j]=inf;break;
					}
				}
			}
		}
		for(int k=1;k<=n;k++){
			for(int i=1;i<=n;i++){
				for(int j=1;j<=n;j++){
					f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k][j]);
				}
			}
		}
		ans=inf;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			ans=min(ans,f[i][i]);
		}
		if(ans==inf) ans=-1;
		printf("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}