曲线的弧长

曲线的定义

原文：

来自维基百科：
In general, a curve is defined through a continuous function $\gamma: I\rightarrow X$ from an interval $I$ of the real numbers into a topological space $X$ . Depending on the context, it is either $\gamma$ or its image $\gamma (I)$ which is called a curve.

In general topology, when non-differentiable functions are considered, it is the map $\gamma$ , which is called a curve, because its image may look very differently from what is commonly called a curve. For example, the image of the Peano curve completely fills the square. On the other hand, when one considers curves defined by a differentiable function (or, at least, a piecewise differentiable function), this is commonly the image of the function which is called a curve.

翻译：

曲线是通过一个从实数区间 $I$ 到拓扑空间 $X$ 的连续函数 $\gamma: I\rightarrow X$ 定义的，根据上下文的不同，要么称函数 $\gamma$ 为曲线，要么称函数的象集 $\gamma (I)$ 为曲线 。
在拓扑空间中，当考虑到不可微的函数的时候，称函数 $\gamma$ 为曲线，因为它的象集可能看起来与通常所称呼的曲线非常不一样。比如， $Peano$ 曲线的象集完全填满了正方形；另一方面，当仅考虑由可微函数（或至少是分段可微函数）定义的曲线时，通常称函数的象集为曲线。

总结：

曲线是通过一个从实数区间 $I$ 到拓扑空间 $X$ 的连续函数 $\gamma: I\rightarrow X$ 定义的，一般若函数不可微，则称函数 $\gamma$ 为曲线；否则函数 $\gamma: I\rightarrow X$ 可微（或分段可微），则称函数的象集 $\gamma (I)$ 为曲线。

弧的定义

原文：

来自维基百科：
In Euclidean geometry, an arc (symbol: ⌒) is a closed segment of a differentiable curve.

翻译：

在欧几里得几何中，弧（符号：⌒）是指可微曲线的封闭的（点集是闭集）一段。

弧长的定义

设平面曲线的参数方程为
$\begin{cases} x = x(t), \\ y = y(t), \end{cases} t \in [T_1, T_2],$
对区间 $[T_1, T_2]$ 作如下划分：
$T_1 = t_0 \lt \cdots \lt t_n = T_2,$
得到这条曲线上顺次排列的 $n + 1 (n \in \mathbb N, n \ge 1)$ 个点 $P_0, \cdots , P_n,$ 用 $\overline {P_{i - 1}P_i}$ 表示连接点 $P_{i - 1}$ 和 $P_i$ 的直线段的长度，那么相应的折线的长度可以表示为 $\sum _{i = 1} ^{n} \overline {P_{i - 1}P_i},$ 取 $\lambda = \max \limits_{1 \le i \le n} {\Delta t_i},$ 若 $\lim \limits_ {\lambda \to 0} \sum _{i = 1} ^{n} \overline {P_{i - 1}P_i}$ 存在，且极限值与区间 $[T_1, T_2]$ 的划分无关，则称这条曲线是可求长的，并将此极限值 $l = \lim \limits_ {\lambda \to 0} \sum _{i = 1} ^{n} \overline {P_{i - 1}P_i}$ 称为该条曲线的弧长。

光滑曲线的定义

若 $x'(t), y'(t)$ 在 $[T_1, T_2]$ 上连续，且 ∀t∈[T1,T2