ABC304F Shift Table

最新推荐文章于 2025-12-05 20:00:00 发布

原创最新推荐文章于 2025-12-05 20:00:00 发布 · 562 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#c++ #题解

题解专栏收录该内容

348 篇文章

订阅专栏

该问题要求计算在给定工作日表中，保证每天至少有一个人工作的所有可能安排。通过枚举n的约数m，利用动态规划计算每个m值下的有效工作安排数量，同时处理重复计数的情况。最后计算所有约数的贡献得到答案，时间复杂度为O(n√n)。

ABC304F Shift Table

题目大意

小 $T$ 和小 $A$ 要做 $n$ 天的工作。

小 $T$ 的工作表表示为字符串 $S$ ，其中“#”表示当天要工作，“.”表示当天不需要工作。

你需要安排小 $A$ 的工作，步骤如下

选择一个 $n$ 的约数 $m$ ， $m\neq n$
决定这 $m$ 天的工作安排
对于 $i=1,2,\dots,n-m$ ，第 $i + m$ 天的工作安排和第 $i$ 天的相同

求小 $A$ 有多少种工作安排，使得每一天都至少有一个人在工作？

输出答案模 $998244353$ 后的值。

$2\leq n\leq 10^5$

题解

首先，枚举 $n$ 的约数，即 $m$ 的值。然后，对于每一个为“.”的位置 $i$ ，小 $A$ 的这个位置都必须是“#”，所以小 $A$ 的所有 $k\times m+i$ （ $k\in Z$ ）的位置都是“#”。用一个桶来存模 $m$ 后必须是“#”的位置，剩下的任意选。若有 $t$ 个数满足存在一个 $i$ 满足 $i\% m=t$ ，那剩下的可以选“#”或“.”，也就是说取当前这个 $m$ 值的满足题意的方案有 $2^{m-t}$ 个。

当然，这样算会算重，比如算 $m = 2 a$ 时有一部分是 $m = a$ 时算过的。那么，我们记 $pt_i$ 表示 $n$ 的第 $i$ 个约数 $p_i$ 对答案的贡献，其中不包括 $p_i$ 的不等于 $p_i$ 的约数的贡献。那么，枚举 $p_i$ 的不等于 $p_i$ 的约数，用前面的 $2^{m-t}$ 减去对应的 $pt$ 值即可。

$n$ 的约数最多有 $2\sqrt n$ 个，所以时间复杂度为 $O(n\sqrt n)$ 。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,z[200005],p[200005],re[200005];
char s[100005];
long long ans=0,pt[200005];
const long long mod=998244353;
long long mi(long long t,long long v){
	if(!v) return 1;
	long long re=mi(t,v/2);
	re=re*re%mod;
	if(v&1) re=re*t%mod;
	return re;
}
int main()
{
	scanf("%d%s",&n,s+1);
	for(int i=1;i<n;i++){
		if(n%i==0){
			p[++p[0]]=i;
			re[i]=p[0];
		}
	}
	for(int i=1;i<=p[0];i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(s[j]=='.') z[j%p[i]]=1;
		}
		int vt=p[i];
		for(int j=0;j<p[i];j++){
			if(z[j]){
				--vt;z[j]=0;
			}
		}
		pt[i]=mi(2,vt);
		for(int j=1;j<p[i];j++){
			if(p[i]%j==0){
				pt[i]=(pt[i]-pt[re[j]]+mod)%mod;
			}
		}
		ans=(ans+pt[i])%mod;
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}