P5205 【模板】多项式开根_p525. k次方根知多少?-优快云博客

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本文详细介绍了如何解决给定n-1次多项式A(x)，求其平方根B(x)模x^n的问题。利用快速数论变换(NTT)和多项式乘法逆，首先找到H(x)，满足H^2(x)≡A(x)modx^⌈n/2⌉，然后通过方程求解得到B(x)。算法的时间复杂度为O(nlog^2n)。代码示例展示了具体的实现过程。

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P5205 【模板】多项式开根

题目大意

给你一个 $n - 1$ 的多项式 $A (x)$ ，求一个在 $\bmod x^n$ 意义下的多项式 $B (x)$ ，使得 $B^2(x)\equiv A(x)\pmod{x^n}$ 。若有多解，请取零次项系数较小的作为答案。

多项式系数在模 $998244353$ 的意义下进行计算。

题解

前置知识：

设已经求出了 $H (x)$ ，使其满足

$H^2(x)\equiv A(x)\pmod{x^{\lceil\frac n2\rceil}}$

那么有

$B(x)-H(x)\equiv 0\pmod{x^{\lceil\frac n2\rceil}}$

平方得

$B^2(x)-2B(x)\cdot H(x)+H^2(x)\equiv 0\pmod{x^n}$

用 $A (x)$ 替换 $B^2(x)$ 得

$B(x)=\dfrac{A(x)+H^2(x)}{2H(x)}$

用多项式求逆和 $NTT$ 即可。

注意求 $B (x)$ 时可以先求 $v=\dfrac{A(x)}{H(x)}$ ，然后 $B(x)=\dfrac{v+H(x)}{2}$ 。

时间复杂度为 $O(n\log^2 n)$ 。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long w,wn,f[500005],g[500005],a1[500005],a2[500005],a3[500005],v[500005];
const long long G=3,mod=998244353,ny2=499122177;
long long mi(long long t,long long v){
	if(!v) return 1;
	long long re=mi(t,v/2);
	re=re*re%mod;
	if(v&1) re=re*t%mod;
	return re;
}
void ch(long long *a,int l){
	for(int i=1,j=l/2;i<l-1;i++){
		if(i<j) swap(a[i],a[j]);
		int k=l/2;
		while(j>=k){
			j-=k;k>>=1;
		}
		j+=k;
	}
}
void ntt(long long *a,int l,int fl){
	for(int i=2;i<=l;i<<=1){
		if(fl==1) wn=mi(G,(mod-1)/i);
		else wn=mi(G,mod-1-(mod-1)/i);
		for(int j=0;j<l;j+=i){
			w=1;
			for(int k=j;k<j+i/2;k++,w=w*wn%mod){
				long long t=a[k],u=w*a[k+i/2]%mod;
				a[k]=(t+u)%mod;
				a[k+i/2]=(t-u+mod)%mod;
			}
		}
	}
	if(fl==-1){
		long long ny=mi(l,mod-2);
		for(int i=0;i<l;i++) a[i]=a[i]*ny%mod;
	}
}
void gt(int l){
	if(l==1){
		a2[0]=mi(g[0],mod-2);
		return;
	}
	gt((l+1)/2);
	int len=1;
	while(len<2*l) len<<=1;
	for(int i=0;i<l;i++) v[i]=g[i];
	for(int i=l;i<len;i++) v[i]=0;
	ch(v,len);ch(a2,len);
	ntt(v,len,1);ntt(a2,len,1);
	for(int i=0;i<len;i++){
		a2[i]=(2-v[i]*a2[i]%mod+mod)%mod*a2[i]%mod;
	}
	ch(a2,len);
	ntt(a2,len,-1);
	for(int i=l;i<len;i++) a2[i]=0;
}
void pdg(int l){
	for(int i=0;i<l;i++) a3[i]=g[i];
	ch(a3,l);
	ntt(a3,l,1);
	for(int i=0;i<l;i++) a3[i]=a3[i]*a3[i]%mod;
	ch(a3,l);
	ntt(a3,l,-1);
}
void solve(int l){
	if(l==1){
		g[0]=1;
		return;
	}
	solve((l+1)/2);
	int len=1;
	while(len<2*l) len<<=1;
	for(int i=0;i<l;i++) a1[i]=f[i];
	for(int i=l;i<len;i++) a1[i]=0;
	gt(len/2);
	ch(a1,len);ch(a2,len);
	ntt(a1,len,1);ntt(a2,len,1);
	for(int i=0;i<len;i++) a1[i]=a1[i]*a2[i]%mod;
	ch(a1,len);
	ntt(a1,len,-1);
	for(int i=0;i<len;i++){
		g[i]=(a1[i]+g[i])%mod*ny2%mod;
		a1[i]=a2[i]=0;
	}
	for(int i=l;i<len;i++) g[i]=0;
	pdg(len);
}
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=0;i<n;i++){
		scanf("%lld",&f[i]);
	}
	solve(n);
	for(int i=0;i<n;i++){
		printf("%lld ",g[i]);
	}
	return 0;
}