韦神练习题

前言

北京大学的数学大神韦神韦东奕在前段时间（2023年三月末）出了一道数学题，这篇博客就来讲讲这道题。

题目

设$a_1,a_2,\dots ,a_n$是$n$个实数，且都在区间$(-1,1)$内。
（1）证明：$\prod _{1\le i,j\le n}\frac{1+a_i{a}_j}{1-a_i{a}_j}\ge 1$
（2）求（1）的不等式中等号成立的充要条件

做法

解：
\qquad（1）因为$\forall i\in [1,n],a_i\in (-1,1)$

\qquad所以$1+a_i{a}_j>0,1-a_i{a}_j>0$

$\prod _{1\le i,j\le n}\frac{1+a_i{a}_j}{1-a_i{a}_j}\ge 1\iff \sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n$