CF1764D Doremy‘s Pegging Game_doremy's pegging game-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/tanjunming2020/article/details/129695593

该文章介绍了一个编程竞赛问题，涉及一个正多边形和中心的蓝色钉子。玩家需要拔掉红色钉子，使橡皮筋接触到蓝色钉子。解决方案包括利用组合数学计算不同拔钉子策略的数量，并优化时间复杂度至O(n^2)。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

墙上有 $n$ 个红色的钉子，有一根橡皮筋围在钉子上，形成了⼀个正边形。在正边形的中⼼处有⼀个蓝⾊的钉⼦，蓝⾊钉⼦的直径⽐红⾊钉⼦⼩。现在你拔掉若⼲钉⼦，当橡⽪筋最终碰到了蓝⾊钉⼦，游戏结束。问你有多少种有序的拔掉红⾊钉⼦的⽅案。答案模⼀个质数 $p$ 。

$3\leq n\leq 5000$ ， $10^8\leq p\leq 10^9$

题解

设 $t=\lfloor\dfrac n2\rfloor$ ，则去掉连续的 $i(i\geq t)$ 个红钉子之后，游戏结束。因为是正 $n$ 边形，所以从哪个点开始取走一段都可以，不妨设从第一个点开始取走一段，最后再乘上 $n$ 。

我们可以枚举 $i$ ，在这 $i$ 个点中，总有一个点要在最后去掉。它与最后一个点之间的点的个数不能超过 $t$ ，所以前 $i - t$ 个点不能选；它与第一个点之间的点的个数不能超过 $t$ ，所以后 $i - t$ 个点不能选，所以它能选择的点为 $i - 2 (i - t) = t - i$ 个点。

剩下能选的点有 $n - 2 - i$ 个。枚举选的点 $j(j\leq n-2-i)$ ，则这些点有 $C_{n-2-i}^j$ 种选择。

最后一个点必须最后取，选其余点的顺序任意，所以还要乘上 $(j + i - 1)!$ 。

方案数为

$\sum\limits_{i=t}^{n-2}(2*t-i)\times n\times \sum\limits_{j=0}^{n-2-i}C_{n-2-i}^j\times (j+i-1)!$ 。

一些特判：
当 $i = n - 1$ 时

如果 $n$ 为奇数，则因为如果只剩两个点，游戏一定结束，所以不可能能够删到只剩一个点，此时贡献为 $0$
如果 $n$ 为偶数，因为 $n - i - 2 = - 1$ ，出现了负数，所以要特判。这种情况下的贡献为 $(i - 1)!$

时间复杂度为 $O(n^2)$ 。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
long long p,ans,jc[5005],ny[5005];
long long mi(long long t,long long v){
	if(!v) return 1;
	long long re=mi(t,v/2);
	re=re*re%p;
	if(v&1) re=re*t%p;
	return re;
}
long long C(int x,int y){
	return jc[x]*ny[y]%p*ny[x-y]%p;
}
int main()
{
	scanf("%d%lld",&n,&p);
	jc[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) jc[i]=jc[i-1]*i%p;
	ny[n]=mi(jc[n],p-2);
	for(int i=n-1;i>=0;i--) ny[i]=ny[i+1]*(i+1)%p;
	for(int i=n/2;i<n;i++){
		if((n&1)&&i==n-1) break;
		long long tmp=0;
		int v=n-i-2;
		if(i==n-1) tmp=jc[i-1];
		else{
			for(int j=0;j<=v;j++){
				tmp=(tmp+C(v,j)*jc[j+i-1]%p)%p;
			}
		}
		ans=(ans+((n/2)*2-i)*tmp%p)%p;
	}
	ans=n*ans%p;
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}