ARC141A Periodic Number_[arc141a] periodic number-优快云博客

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该文章介绍了一种算法，用于找出不超过给定正整数n的最大的具有周期性的数。周期性数指的是可以表示为其他数的10的幂的倍数的数，例如111、1212等。算法通过枚举周期长度并计算最大可能的周期性数来实现，时间复杂度为O(kT)，其中k是n的位数，T是测试用例的数量。文章附带了C++代码示例。

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ARC141A Periodic Number

题目大意

对于一个正整数 $n$ ， $s t r (n)$ 表示 $n$ 在10进制下的字符串。我们称一个正整数 $n$ 有周期性，当存在一个正整数 $m$ ，使 $s t r (n)$ 是由两个或多个 $s t r (m)$ 组成的。比如 $111, 1212, 123123123$ ，它们都是有周期性的。

给一个正整数 $n$ ，求不超过 $n$ 的最大的有周期性的数。有 $T$ 组数据。

$1\leq T\leq 10^4$
$11\leq n < 10^{18}$

题解

我们知道，一个有周期性的数，一定是若干个 $10$ 的若干次幂的和的倍数。比如 $123123123$ 是 $1001001$ 的 $123$ 倍。

令 $k$ 表示 $n$ 的位数，若我们要求的答案位数也为 $k$ ，那么我们可以枚举每个周期的长度 $l$ ，注意 $l$ 一定能整除 $k$ 。

我们求一个数 $d$ ，求法如下

$d=\sum\limits_{i=0}^{\frac kl-1}10^{l\times i}$

此时 $\lfloor\dfrac nd\rfloor$ 就是每个周期的数字， $\lfloor\dfrac nd\rfloor\times d$ 即为不超过 $n$ 的最大的有周期性且每个周期长度为 $l$ 的数。

对所有 $l$ 求答案，再求最大值即可。

如果没有不超过 $n$ 的有 $k$ 位的有周期性的数，则答案为 $10^{k-1}-1$ ，即 $k - 1$ 位，每一位都是 $9$ 。

时间复杂度为 $O (k T)$ 。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t,k;
long long n,d,ans,mi[20];
int gt(long long s){
	int re=0;
	while(s){
		++re;s/=10;
	}
	return re;
}
int main()
{
	scanf("%d",&t);
	mi[0]=1;
	for(int i=1;i<=18;i++) mi[i]=mi[i-1]*10;
	while(t--){
		scanf("%lld",&n);
		k=gt(n);
		ans=mi[k-1]-1;
		for(int i=1;i<k;i++){
			if(k%i!=0) continue;
			d=1;
			for(int j=i;j<k;j+=i){
				d+=mi[j];
			}
			if(mi[i-1]>n/d) continue;
			ans=max(ans,n/d*d);
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}