积性函数小记

积性函数

设数论函数$f$，$a,b$为任意两个互质的质数。如果满足$f(a)\times f(b)=f(a\times b)$，则称函数$f$为积性函数。

如果不要求$a,b$互质，仍然满足$f(a)\times f(b)=f(a\times b)$，则称函数$f$为完全积性函数。

常见的积性函数

• 单位函数：$ϵ(n)=[n=1]$
• 常数函数：$I(n)=1$
• 恒等函数：$Id(n)=n$
• 幂函数：$I{d}_k(n)=n^k$
• 约数函数：$\sigma (n)=\sum _{d|n}d$
• 约数个数函数：${\sigma }_0(n)=\sum _{d|n}{d}^0$
• 欧拉函数：$\varphi (n)=\sum _{a=1}^n[(a,n)=1]$
• 莫比乌斯函数：$\mu (n)=\{\begin{array}{c}\begin{array}{rl}1& n=1\\ (-1{)}^k& n=p_1{p}_2\cdots p_k\\ 0& otherwise\end{array}\end{array}$

其中$I(n),Id(n),I{d}_k(n)$为完全积性函数。