莫队学习笔记

tanjunming2020

已于 2022-12-18 11:42:43 修改

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分类专栏：算法文章标签： c++ 算法

于 2022-12-18 10:25:17 首次发布

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介绍

莫队由莫涛发明，是一种处理区间询问的离线算法。

莫队

用两个指针 $l, r$ 来维护区间 $[l, r]$ 内的答案。

使用分块，设每块大小为 $b$ ，则有 $\dfrac nb$ 块。将询问离线下来，以 $l$ 所在块为第一关键字， $r$ 为第二关键字来排序。

对于每一个块， $r$ 是递增的，最多移动 $n$ 次，则总共移动 $\dfrac{n^2}{b}$ 次
$l$ 在同一块内单次移动最多移动 $b$ 次，总共移动 $mb$ 次
跨快移动， $l$ 最多移动 $2 b$ 次， $r$ 最多移动 $n$ 次，最多跨块 $\dfrac nb$ 次，总共移动 $(\dfrac{n^2}{b}+2n)$ 次

三部分加起来，时间复杂度为 $O(\dfrac{n^2}{b}+mb)$ 。当 $b=\dfrac{n}{\sqrt m}$ 时最优，为 $O(n\sqrt m)$ 。

一般情况下，令 $b=\sqrt n$ ，时间复杂度为 $O((m+n)\sqrt n)$ 。

code

struct node{
	int l,r,id;
}w[N];
bool cmp(node ax,node bx){
	int a1=ax.l/bl,b1=bx.l/bl; //bl为块数 
	if(a1!=b1) return a1<b1;
	return ax.r<bx.r;
}
void add(int x){
	
}
void dele(int x){
	
}
void solve(){
	sort(w+1,w+n+1,cmp);
	int l=1,r=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x=w[i].l,y=w[i].r;
		while(l>x) add(--l);
		while(l<x) dele(l++);
		while(r>y) dele(r--);
		while(r<y) add(++r);
		ans[w[i].id]=now;
	}
}

注意

		while(l>x) add(--l);
		while(l<x) dele(l++);
		while(r>y) dele(r--);
		while(r<y) add(++r);

因为有删除操作，所以在 $l > r + 1$ 的情况下会出现删除了没有加入的数的情况。

如果用 $se t$ 来维护，则会出问题，所以可以改为

		while(l>x) add(--l);
		while(r<y) add(++r);
		while(l<x) dele(l++);
		while(r>y) dele(r--);

奇偶排序

若用奇偶排序，代码会跑得快一些。

bool cmp(node ax,node bx){
	int a1=ax.l/bl,b1=bx.l/bl;
	if(a1!=b1) return a1<b1;
	if(a1&1) return ax.r<bx.r;
	return ax.r>bx.r;
}

例题

P1494 [国家集训队] 小 Z 的袜子

用桶来存每种颜色的袜子，求出抽出颜色相同的袜子的种数，再除以抽出任意两只袜子的种数即可。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,bl;
long long re,c[50005],z[50005],ans[50005],v[50005];
struct node{
    int l,r,id;
}a[50005];
bool cmp(node ax,node bx){
    int a1=ax.l/bl,b1=bx.l/bl;
    if(a1!=b1) return a1<b1;
    return ax.r<bx.r;
}
void add(int x){
    re-=z[x]*(z[x]-1);
    ++z[x];
    re+=z[x]*(z[x]-1);
}
void dele(int x){
    re-=z[x]*(z[x]-1);
    --z[x];
    re+=z[x]*(z[x]-1);
}
void gcd(long long i,long long j){
    long long p=i,q=j;
    while(j>0){
        i%=j;swap(i,j);
    }
    printf("%lld/%lld\n",p/i,q/i);
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    bl=sqrt(n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&c[i]);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d",&a[i].l,&a[i].r);
        a[i].id=i;
        long long k=a[i].r-a[i].l+1;
        k=k*(k-1);
        v[i]=k;
    }
    sort(a+1,a+m+1,cmp);
    for(int k=1,i=0,j=1;k<=m;k++){
        int l=a[k].l,r=a[k].r;
        while(i<r) add(c[++i]);
        while(i>r) dele(c[i--]);
        while(j<l) dele(c[j++]);
        while(j>l) add(c[--j]);
        ans[a[k].id]=re;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++){
        if(ans[i]==0){
            printf("0/1\n");
            continue;
        }
        gcd(ans[i],v[i]);
    }
    return 0;
}