莫队算法(知识整理+板子总结)

思路来源

Bzoj-2023 小Z的袜子(hose)_ó-优快云博客（里面还有几篇不错的莫队讲稿）

bzoj2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)_thy的专栏-优快云博客

莫队……讲稿？ « Foreseeable's Blog（莫队讲稿）

知识点

莫队是一种优雅的暴力，由前清华集训队队长莫涛发明

基于分块思想，且[l,r]的答案向[l,r+1],[l,r-1],[l-1,r],[l+1,r]四个相邻状态任意一个转移都是O(1)的

离线思想，将读入排序，按sqrt(n)分块，每sqrt(n)个为一块

排序时，将左端点块号相同的询问放在一个块里，右端点按单增排

对于每个块内相邻的两个询问，每次左右端点移动不会超过根号n，是O(sqrt(n))

块与块间相邻的两个询问，每次左右端点移动不会超过2倍根号n，也是O(sqrt(n))

试想以长度x为一块，[1,x][x+1,2x]，最坏就是[1,1]->[2x,2x]

因此，对于m个询问，复杂度为O(msqrt(n))

本来可以通过将[l,r]转化为平面坐标(l,r)，通过求曼哈顿最小生成树使得转移和最小，

但是，最坏情况下，曼哈顿最小生成树的复杂度和莫队分块的复杂度是一样的，

相比之下，莫队还好写，所以往往采用莫队算法来写

实现时，分块和下标移动套板子，魔改add函数即可

20220211更新：

有个小优化，能让右端点挪动的更少：

1. 排序时，如果两个端点所在块相同

若块是第奇数个，按右端点降序

若块是第偶数个，按右端点升序

例题

以bzoj2038: [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)为例

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=5e4+10;
int n,m,l,r;
int col[maxn];
int pos[maxn];//pos[i]代表i下标所在的块号
ll now[maxn];//now[i]代表颜色i有几只袜子 
ll res,len,dom,g;
int sz;//块的大小
ll gcd(ll a,ll b)
{
	return b?gcd(b,a%b):a;
}
struct node
{
	int l,r,id;
	ll ans;
}e[maxn];
bool cmp1(node a,node b)
{
	if(pos[a.l]==pos[b.l])
    {
        if(pos[a.l]&1)return a.r>b.r;
        else return a.r<b.r;
    }
	return a.l<b.l;
}
bool cmp2(node a,node b)
{
	return a.id<b.id;
}
void add(int pos,int v)
{
	res-=now[col[pos]]*(now[col[pos]]-1);
	now[col[pos]]+=v;
	res+=now[col[pos]]*(now[col[pos]]-1);
}
int main()
{
	while(~scanf("%d%d",&n,&m))
	{
		res=0;
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{ 
		 scanf("%d",&col[i]);
		 now[i]=0;
	    }
		sz=(int)sqrt(n); 
		for(int i=1;i<=n;++i)
		pos[i]=1+(i-1)/sz;
		for(int i=1;i<=m;++i)
		{
			scanf("%d%d",&e[i].l,&e[i].r);
			e[i].id=i;
		}
		sort(e+1,e+m+1,cmp1);
		l=1;r=0;//[l,r] 初始什么都没有 
		for(int i=1;i<=m;++i)
		{
			for(;r<e[i].r;r++)add(r+1,1);
			for(;r>e[i].r;r--)add(r,-1);
			for(;l<e[i].l;l++)add(l,-1);
			for(;l>e[i].l;l--)add(l-1,1);
			e[i].ans=res;
		}
		sort(e+1,e+m+1,cmp2);
		for(int i=1;i<=m;++i)
		{
			len=(e[i].r-e[i].l+1);
			dom=len*(len-1);
			g=gcd(e[i].ans,dom);
			e[i].ans/=g;
			dom/=g;
			printf("%lld/%lld\n",e[i].ans,dom);
		}
	}
	return 0;
}