构造字符串题解

题目描述

小C曾经有一个神奇的字符串$S$，$S$每一个字符都是非负整数。

但小C将字符串丢失了，唯一剩下的是他当时用$SA$求出的一些$LCP$信息。$LCP(LongestCommonPrefix)$，即最长公共前缀。

将$S$的字符从1开始编号，设$n=|S|$，用$S_{i,j}$表示$S$的第$i$个字符到第$j$个字符构成的子串
则 L C P ( i , j ) = max ⁡ i + k ≤ n , j + k ≤ n , S i , i + k = S j , j + k { k + 1 } LCP(i,j)=\max\limits_{i+k\leq n,j+k\leq n,S_{i,i+k}=S_{j,j+k}}\{k+1\} LCP(i,j)=i+k≤n,j+k≤n,Si,i+k​=Sj,j+k​max​{k+1}

每条信息都是$x_i,y_i,z_i$的形式，表示$LCP(x_i,y_i)=z_i$

丢失的字符难以找回，现在小C只想你找到所有满足条件的字符串中，字典序最小的一个。

但是有些信息可能已经损坏，所以信息之间可能存在矛盾。

输入格式

第一行两个整数$n,m$，表示字符串长度，信息个数
然后$m$行，每行三个整数$x_i,y_i,z_i$，描述一条信息
保证$x_i+z_i-1\le n.y_i+z_i-1\le n$

输出格式

输出满足条件的最小字符串，两个字符串之间用空格隔开。如果不存在这样的字符串，输出一个整数-1。

样例输入1

3 2
1 2 0
1 3 1

样例输出1

0 1 0

样例输入2

3 2
1 2 0
1 2 1

样例输出2

-1

数据范围

$1\le n,m\le 1000$

题解

首先，我们设$s_i$为$S$的第$i$个字符。因为$S_{x,x+z-1}=S_{y,y+z-1}$，所以$s_{x+i}==s_{y+i}(0\le i<z)$，所以我们可以用并查集把一定相同的字符放在一起。

因为$z$是最长公共前缀的长度，所以如果$x+z\le n$且$y+z\le n$，则一定满足$s_{x+z}\ne s_{y+z}$。若$x+z$和$y+z$在同一个连通块，则矛盾，输出-1。否则用$bitset$下的$z[i]$数组存储不能与$i$相等的字符。若$z[i][j]==1$，则$i$与$j$一定不相等

最后，从1开始给每个字符赋值。对于每个字符，如果它的连通块已经被赋值，则这个字符的值就是该联通块的值；否则给这个连通块赋值。首先，将连通块中的每一个点遍历一遍，将每个点不能与其相等的点列出，再遍历这些点。每次操作的时间复杂度为$O(n^2)$，但因为用了$bitset$，可以直接用或操作，会快很多。遍历必须与连通块不相等的点，如果这个点未被赋值，则跳过；否则将这个点的值放入集合$S$中。$mex(S)$就是这个连通块的值。$mex$可以$O(n)$求出。

每次操作时间复杂度为$O(n^2)$，所以总时间复杂度为$O(n^3)$。因为跑不满，而且用了$bitset$，所以是可以过的。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,fl=0,a[1005],ans[1005],fa[1005],b[1005];
bitset<1005>p,v,z[1005],t[1005];
struct node{
    int x,y,z;
}w[1005];
int find(int ff){
    if(fa[ff]!=ff) fa[ff]=find(fa[ff]);
    return fa[ff];
}
void pt(int x,int y){
    int v1=find(x),v2=find(y);
    if(v1!=v2) fa[v1]=v2;
}
void dd(int x,int y,int k){
    for(int i=0;i<k;i++){
        if(z[x+i][y+i]){
            fl=1;return;
        }
        pt(x+i,y+i);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        scanf("%d%d%d",&w[i].x,&w[i].y,&w[i].z);
        z[w[i].x+w[i].z][w[i].y+w[i].z]=z[w[i].y+w[i].z][w[i].x+w[i].z]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        dd(w[i].x,w[i].y,w[i].z);
        if(fl){
            printf("-1");
            return 0;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i]=-1;t[find(i)][i]=1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int v=fa[i];
        if(a[v]==-1){
            for(int j=0;j<=n;j++){
                b[j]=p[j]=0;
            }
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(t[v][j]) p=p|z[j];
            }
            for(int j=1;j<=n;j++){
                if(p[j]&&a[fa[j]]!=-1) b[a[fa[j]]]=1;
            }
            for(int j=0;j<=n;j++){
                if(b[j]==0){
                    a[v]=j;break;
                }
            }
        }
        ans[i]=a[v];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        printf("%d ",ans[i]);
    }
}