BZOJ 4237 稻草人（cdq分治+单调栈）

题目描述

JOI村有一片荒地，上面竖着$N$个稻草人，村民们每年多次在稻草人们的周围举行祭典。 有一次，JOI村的村长听到了稻草人们的启示，计划在荒地中开垦一片田地。和启示中的一样，田地需要满足以下条件： 田地的形状是边平行于坐标轴的长方形； 左下角和右上角各有一个稻草人； 田地的内部(不包括边界)没有稻草人。 给出每个稻草人的坐标，请你求出有多少遵从启示的田地的个数。

输入格式

一行一个整数$N$，代表稻草人的个数

接下来$N$行，第$i$行包含$2$个由空格分隔的整数$x_i$和$y_i$，表示第$i$个稻草人的坐标

输出格式

输出一行一个正整数，代表遵从启示的田地的个数

样例输入

4
0 0
2 2
3 4
4 3

样例输出

3

样例解释

所有满足题意的田地如图所示：

数据范围

• $1\le N\le 2\times 10^5$

• $0\le x_i,y_i\le 10^9(1\le i\le N)$

• $x_i$互不相同，$y_i$互不相同

题解

前置知识：$cdq$分治

题目大意就是在一个平面上有若干个点，求有多少个区域，满足区域左下角和右上角各有一个点，区域内没有点（不包括边界）。因为题目满足：$\forall i,j(i\ne j),x_i\ne x_j,y_i\ne y_j$，所以只如果左下角和右上角有点，那区间的边界就不会有点。我们就不用特殊考虑边界，直接做就行了。

首先对$x$值进行排序，然后$cdq$分治。对于区间$[l,r]$，我们让左区间中的点作左下角的点，右区间的点做右上角的点。因为已经按$x$值排好了序，所以左区间的$x$值都小于右区间的$x$值。分别对左右区间的$y$值进行排序，左区间$x$值仍小于右区间$x$值。

对于左区间的点$i,j$，如果$x_i<x_j$且$y_i<y_j$，因为剩余的右区间的点$y$值都大于$y_j$，所以此时点$i$无法与剩下的任何一个右上角的点形成矩形，所以此时要将$i$踢掉。我们可以用单调栈来维护。因为$y$值已经从小到大排序，所以在栈中只需让$x$值单调递减即可。

对于右区间的点$i,j$，如果$x_i>x_j$且$y_i<y_j$，那么$j$点对$i$点不会产生任何影响。相反地，如果$x_i<x_j$且$y_i<y_j$，那点$i$就不能与$x$值小于$x_j$ 的左区间的点匹配。此时的$j$对$i$有限制作用，需保留。同样地，我们可以使用单调栈来维护，在栈中$x$值单调递增。

对于每个右区间的点$i$，设它在栈中前一个位置是点$j$，那点$i$的贡献就是左区间的栈中大于$x_j$的点的个数，二分查找即可。总时间复杂度为$O(nlo{g}^{2}n)$

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,t1,t2,h1[200005],h2[200005];
long long ans=0;
struct node{
	int x,y;
}w[200005];
bool cmp1(node ax,node bx){
	return ax.x<bx.x;
}
bool cmp2(node ax,node bx){
	return ax.y<bx.y;
}
int find(int g){
	int l=1,r=t1,mid;
	while(l<=r){
		mid=l+r>>1;
		if(w[h1[mid]].y<g) l=mid+1;
		else r=mid-1;
	}
	return l-1;
}
void cdq(int l,int r){
	if(l==r) return;
	int mid=l+r>>1;
	cdq(l,mid);cdq(mid+1,r);
	sort(w+l,w+mid+1,cmp2);
	sort(w+mid+1,w+r+1,cmp2);
	int j=l;t1=t2=0;
	for(int i=mid+1;i<=r;i++){
		while(w[j].y<w[i].y&&j<=mid){
			while(t1&&w[h1[t1]].x<w[j].x) --t1;
			h1[++t1]=j;++j;
		}
		while(t2&&w[h2[t2]].x>w[i].x) --t2;
		h2[++t2]=i;
		if(t2>1) ans+=t1-find(w[h2[t2-1]].y);
		else ans+=t1;
	}
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d%d",&w[i].x,&w[i].y);
	}
	sort(w+1,w+n+1,cmp1);
	cdq(1,n);
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}