CDQ分治

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#数据结构与算法

CDQ分治

CDQ分治：用于解决离线或不强制在线问题中简化一层树结构的实用性分治算法

其实可以这样说，如果CDQ分治的题空间开大一点，基本树套树都可以搞定，但是树套树的空间复杂度是O(nlog~nlog^2n)，而CDQ分治一般是O(n)级别的，因此，有些CDQ分治的题目并不能用树套树解决。并且，一般来说写一个CDQ分治都要比普通的树套树要容易的多，除了主席树+树状数组...

CDQ分治主要思想还是分治的思想，即递归处理小范围信息，之后将处理的信息合并上传。一般来说，都是先处理左区间，之后用左区间更新右区间，顺便更新答案，然后处理右区间，之后再将两个区间的信息合并。

通常来说，为了简化时间复杂度与常数，有几种方法可以参考

(1)在分治之前先按照某一关键字排序，之后在分治过程中，将信息按照时间分成前后两部分，这样避免了多次排序。

(2)在分治过程中，利用归并排序的方式将两个有序序列合并，将O(nlog)的排序变为O(n)的归并。

(3)在分治过程中，利用树状数组解决问题，除非必须用到别的东西。

(4)在分治过程中，利用有序的性质可以发现，逆序也是有序的，并且满足一些正好与正序相反，这样可以避免重复排序。

(5)在分治之前尽可能的简化不必要的信息，这样能减少整个代码的常数。

(6)另外，在更新右区间或者合并的时候，尽量选择常数与时间复杂度较小的算法，比如说能用单调队列就不要用斜率优化，能用斜率优化就不要用决策单调性。

其实本身CDQ分治的常数还是蛮小的，并不用太多的东西来优化，卡一卡rank1什么的可以优化一下...

注意事项：

分治结构一般的注意事项：不要用memset之类的东西！包括点分治在内的分治算法，时间复杂度的正确性关键在于快速处理出小部分的信息，而这么一个memset真的是自寻死路...(除非你能把握好sizeof里面的东西多大...)

注意出现某一信息相等的时候，记得将再判断时间的顺序，让时间小的放在前面。(其实没什么必要，但是能让你的代码好调一点)

注意一些比较恶心的边界条件...

扩充：

CDQ分治也是一种分治结构，可以和点分治结合(比如说：NOI2014购票)

CDQ分治可以套CDQ分治来解决四维偏序问题(当然，万一出题人毒瘤，出五维偏序怎么办？目测可以CDQ分治套CDQ分治套树套树)

例题时间：

BZOJ3262: 陌上花开

分析：比较裸的三维偏序，一维排序，一维分治，一维树状数组

具体实现是将先按x排序，之后按y分治，将z存入树状数组中，每次左区间修改，右区间查询即可。

附上代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#include <iostream>
using namespace std;
#define N 100005
struct node
{
	int x,y,z,cnt,num;
	friend bool operator!=(const node &a,const node &b)
	{
		return a.x!=b.x||a.y!=b.y||a.z!=b.z;
	}
	friend bool operator<(const node &a,const node &b)
	{
		return ((a.x==b.x)&(a.y==b.y)&(a.z<b.z))|((a.x==b.x)&(a.y<b.y))|(a.x<b.x);
	}
}a[N],v[N],tmp[N];
int n,sum[N<<1],maxn,ans[N];
void fix(int x,int v){for(;x<=maxn;x+=x&-x)sum[x]+=v;}
int find(int x){int ret=0;for(;x;x-=x&-x)ret+=sum[x];return ret;}
void solve(int l,int r)
{
	if(l==r)return ;
	int m=(l+r)>>1,i=l,j=m+1,p=l;
	solve(l,m);solve(m+1,r);
	while(i<=m&&j<=r)
	{
		if(v[i].y<=v[j].y)fix(v[i].z,v[i].cnt),tmp[p++]=v[i++];
		else tmp[p]=v[j],tmp[p++].num+=find(v[j++].z);
	}
	while(i<=m)fix(v[i].z,v[i].cnt),tmp[p++]=v[i++];
	while(j<=r)tmp[p]=v[j],tmp[p++].num+=find(v[j++].z);
	for(int i=l;i<=m;i++)fix(v[i].z,-v[i].cnt);
	for(int i=l;i<=r;i++)v[i]=tmp[i];
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&maxn);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d%d%d",&a[i].x,&a[i].y,&a[i].z);
	sort(a+1,a+n+1);int tot=0;a[0].x=-1;
	for(int i=1;i<=n;i++){if(a[i]!=a[i-1])v[++tot]=a[i];v[tot].cnt++;}
	solve(1,tot);
	for(int i=1;i<=tot;i++)ans[v[i].num+v[i].cnt]+=v[i].cnt;
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d\n",ans[i]);return 0;
}

BZOJ1492: [NOI2007]货币兑换Cash

分析：

暴力的DP方程：f[i]=max(f[j]+calc(i,j));另外，有一点很显然，要买就全买，要卖就全卖，贪心可证，不去证了...

先化简一下式子：

f[i]=f[j]/(a[j]*rat[j]+b[j])*(a[i]*rat[j]+b[i])

f[i]=a[i]*f[j]/(a[j]*rat[j]+b[j])*rat[j]+b[i]∗f[j]/(a[j]*rat[j]+b[j])

设g[j]=f[j]/(a[j]*rat[j]+b[j]);

f[i]=a[i]*rat[j]*g[j]+b[i]*g[j];

(f[i]/a[i])=rat[j]*g[j]+(b[i]/a[i])*g[j];

看起来可以斜率优化，但是完全不可做...因为完全没有单调性...

既然没有单调性做什么啊！（啪！不做题想死吗！）

好吧，既然没有单调性，那么就强行给他单调性！

所以其实单调性这种事情吧，就是想要有就可以有的，对不对？(对什么对！CDQ分治恶心死你)

那么其实本质上，我们需要将所有点按a[i]/b[i]排序，之后得到的序列满足a[i]/b[i]单调递增，每次再尽量不改变顺序的前提下，将区间分成两部分满足前半部分的时间都小于后半部分的时间，之后先递归处理左区间，再用左区间建立一个凸包(满足每个直线的斜率单调递增)，之后用这个凸包更新右区间，再递归处理右区间，最后再按照g[i]的大小归并。

附上代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#include <iostream>
using namespace std;
#define N 100005
#define K(x) (p[x].g)
#define B(x) (p[x].g*p[x].rat)
#define Y(x,y) (K(x)*p[y].b+B(x)*p[y].a)
struct node
{
    double a,b,f,g,k,rat,idx;
    friend bool operator<(const node &a,const node &b)
    {
        return a.k>b.k;
    }
}p[N],pp[N];
int n,q[N],h,t;
bool cmp(int i,int j,int k)
{
    double t1=(B(i)-B(j))*(K(k)-K(i));
    double t2=(B(k)-B(i))*(K(i)-K(j));
    return t1<=t2;
}
void solve(int l,int r)
{
    if(l==r)
    {
        p[l].f=max(p[l].f,p[l-1].f);
        p[l].g=p[l].f/(p[l].a*p[l].rat+p[l].b);
        return ;
    }
    int m=(l+r)>>1,h1=l,h2=m+1;double maxx=0;
    for(int i=l;i<=r;i++)
    {
        if(p[i].idx<=m)pp[h1++]=p[i];
        else pp[h2++]=p[i];
    }
    for(int i=l;i<=r;i++)p[i]=pp[i];solve(l,m);
    int h=1,t=0;
    for(int i=l;i<=m;i++)
    {
        while(h<t&&cmp(q[t],q[t-1],i))t--;
        q[++t]=i;maxx=max(maxx,p[i].f);
    }
    for(int i=m+1;i<=r;i++)
    {
        while(h<t&&Y(q[h],i)<=Y(q[h+1],i))h++;
        p[i].f=max(max(p[i].f,maxx),Y(q[h],i));
        p[i].g=p[i].f/(p[i].a*p[i].rat+p[i].b);
    }
    solve(m+1,r);h1=l,h2=m+1;
    for(int i=l;i<=r;i++)
    {
        if(h1<=m&&(h2>r||K(h1)<K(h2)))pp[i]=p[h1++];
        else pp[i]=p[h2++];
    }
    for(int i=l;i<=r;i++)p[i]=pp[i];
}
int main()
{
    scanf("%d%lf",&n,&p[1].f);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lf%lf%lf",&p[i].a,&p[i].b,&p[i].rat);
        p[i].k=-p[i].b/p[i].a;p[i].idx=i;
    }
    sort(p+1,p+n+1);
    solve(1,n);double ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,p[i].f);
    printf("%.3lf\n",ans);
}

BZOJ3295: [Cqoi2011]动态逆序对

当我第一次看到这道题的时候，“这不是主席树+树状数组裸题嘛！”之后树套树水过。

当我再次看到这道题的时候...“卧槽，这题还能用CDQ分治？！”之后CDQ分治水过。

类似陌上花开，删除就相当于加入，之后加入是逆序的

附上代码：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;
#define N 100005
struct node
{
	int x,p,t,num;
	friend bool operator<(const node &a,const node &b)
	{
		if(a.t==b.t)return a.p<b.p;
		return a.t<b.t;
	}
}p[N],pp[N];
int sum[N],n,Q,b[N];long long ans[N],tot;
void fix(int x,int c){for(;x<=n;x+=x&-x)sum[x]+=c;}
int find(int x){int ret=0;for(;x;x-=x&-x)ret+=sum[x];return ret;}
void solve(int l,int r)
{
	if(l==r)return ;int m=(l+r)>>1,h1=l,h2=m+1;
	/*for(int i=l;i<=r;i++){if(p[i].p<=m)pp[h1++]=p[i];else pp[h2++]=p[i];}
	for(int i=l;i<=r;i++)p[i]=pp[i];*/solve(l,m);solve(m+1,r);h1=l,h2=m+1;
	for(int i=l;i<=r;i++)
	{
		if(h1<=m&&(h2>r||p[h1].p<p[h2].p))pp[i]=p[h1],fix(p[h1++].x,1);
		else pp[i]=p[h2],ans[pp[i].t]+=find(n)-find(p[h2++].x);
	}for(int i=l;i<=m;i++)fix(p[i].x,-1);h1=m,h2=r;
	for(int i=l;i<=r;i++)
	{
		if(h1>=l&&(h2<m+1||p[h1].p>p[h2].p))fix(p[h1--].x,1);
		else ans[p[h2].t]+=find(p[h2].x-1),h2--;
	}for(int i=l;i<=m;i++)fix(p[i].x,-1);for(int i=l;i<=r;i++)p[i]=pp[i];
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&Q);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&p[i].x),p[i].p=i,b[p[i].x]=i,p[i].t=1;
	for(int i=1,x;i<=Q;i++)scanf("%d",&x),p[b[x]].t=n-i+1;sort(p+1,p+n+1);
	solve(1,n);for(int i=1;i<=n;i++)tot+=ans[i];
	for(int i=n;i>n-Q;i--)printf("%lld\n",tot),tot-=ans[i];
	//for(int i=1;i<=n;i++)printf("%lld\n",ans[i]);
}

树套树：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;
#define N 100005
struct node{int ls,rs,siz;}tr[N*100];
int nx,ny,rx[N],ry[N],cnt,Q,n,rot[N],a[N],p[N],q[N],vis[N];long long ans[N];
void insert(int v,int c,int l,int r,int &rt)
{
	if(!rt)rt=++cnt;tr[rt].siz+=c;if(l==r)return ;int m=(l+r)>>1;
	if(m>=v)insert(v,c,l,m,tr[rt].ls);else insert(v,c,m+1,r,tr[rt].rs);
}
int query_back(int l,int r,int x)
{
	if(l==r)return 0;int m=(l+r)>>1,sizls=0;
	for(int i=1;i<=nx;i++)sizls-=tr[tr[rx[i]].ls].siz;
	for(int i=1;i<=ny;i++)sizls+=tr[tr[ry[i]].ls].siz;
	if(m>=x)
	{
		for(int i=1;i<=nx;i++)rx[i]=tr[rx[i]].ls;
		for(int i=1;i<=ny;i++)ry[i]=tr[ry[i]].ls;
		return query_back(l,m,x);
	}
	for(int i=1;i<=nx;i++)rx[i]=tr[rx[i]].rs;
	for(int i=1;i<=ny;i++)ry[i]=tr[ry[i]].rs;
	return sizls+query_back(m+1,r,x);
}
int query_front(int l,int r,int x)
{
	if(l==r)return 0;int m=(l+r)>>1,sizrs=0;
	for(int i=1;i<=nx;i++)sizrs-=tr[tr[rx[i]].rs].siz;
	for(int i=1;i<=ny;i++)sizrs+=tr[tr[ry[i]].rs].siz;
	if(m>=x)
	{
		for(int i=1;i<=nx;i++)rx[i]=tr[rx[i]].ls;
		for(int i=1;i<=ny;i++)ry[i]=tr[ry[i]].ls;
		return query_front(l,m,x)+sizrs;
	}
	for(int i=1;i<=nx;i++)rx[i]=tr[rx[i]].rs;
	for(int i=1;i<=ny;i++)ry[i]=tr[ry[i]].rs;
	return query_front(m+1,r,x);
}
void pre(int l,int r)
{
	nx=ny=0;
	for(int i=l;i;i-=i&-i)rx[++nx]=rot[i];
	for(int i=r;i;i-=i&-i)ry[++ny]=rot[i];
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&Q);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
		p[a[i]]=i;
	}
	for(int i=1;i<=Q;i++)
	{
		scanf("%d",&q[i]);
		vis[q[i]]=1;
	}
	for(int i=n;i>=1;i--)
	{
		if(!vis[a[i]])
		{
			pre(0,n);ans[Q+1]+=query_back(1,n,a[i]);
			for(int j=i;j<=n;j+=j&-j)insert(a[i],1,1,n,rot[j]);
		}
	}
	for(int i=Q;i;i--)
	{
		ans[i]=ans[i+1];
		for(int j=p[q[i]];j<=n;j+=j&-j)insert(q[i],1,1,n,rot[j]);
		pre(p[q[i]],n);ans[i]+=query_back(1,n,q[i]);
		pre(0,p[q[i]]);ans[i]+=query_front(1,n,q[i]);
	}
	for(int i=1;i<=Q;i++)
	{
		printf("%lld\n",ans[i]);
	}
}

就是慢了点，没关系的...

BZOJ1176: [Balkan2007]Mokia&BZOJ2683: 简单题

说实话，这题写KD-Tree真的是好写...但是nsqrt(n)跑不过nloglog也是正常的对不对？

单点修改就直接相当于添加一个点，查询就相当于拆成四个。按照时间戳排序，按照x大小归并

附上代码：

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;
#define N 200005
struct node
{
    int x,y,op,c,idx;
}p[N],pp[N];
int n,Q,maxn,num;long long sum[N*10],ans[N];
void fix(int x,int c){for(;x<=maxn;x+=x&-x)sum[x]+=c;}
int find(int x){int ret=0;for(;x;x-=x&-x)ret+=sum[x];return ret;}
void solve(int l,int r)
{
    if(l==r)return ;int m=(l+r)>>1,h1=l,h2=m+1;
    solve(l,m);solve(m+1,r);h1=l,h2=m+1;
    for(int i=l;i<=r;i++)
    {
        if(h1<=m&&(h2>r||p[h1].x<=p[h2].x)){if(!p[h1].op)fix(p[h1].y,p[h1].c);pp[i]=p[h1++];}
        else{if(p[h2].op)ans[p[h2].idx]+=p[h2].c*find(p[h2].y);pp[i]=p[h2++];}
    }
    for(int i=l;i<=m;i++)if(!p[i].op)fix(p[i].y,-p[i].c);for(int i=l;i<=r;i++)p[i]=pp[i];
}
int main()
{
    scanf("%*d%d",&maxn);
    while(1)
    {
        int op,x,y,a,b;
        scanf("%d",&op);//%d%d%d",&op,&x,&y,&a);
        if(op==3)break;
        if(op==1)
        {
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&a);
            p[++n]=(node){x,y,0,a,0};
        }else
        {
            num++;
            scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&a,&b);x--,y--;
            p[++n]=(node){a,b,1,1,num};
            p[++n]=(node){a,y,1,-1,num};
            p[++n]=(node){x,b,1,-1,num};
            p[++n]=(node){x,y,1,1,num};
        }
    }
    solve(1,n);
    for(int i=1;i<=num;i++)printf("%lld\n",ans[i]);
}

BZOJ2225: [Spoj 2371]Another Longest Increasing

分析：二维LIS，CDQ分治正常操作，按照第一维排序，每次取出左右区间，之后按照第一维归并。第二维树状数组即可。

附上代码：

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#include <iostream>
using namespace std;
#define N 200005
struct node
{
    int a,b,idx;
}p[N],pp[N];
int n,maxx[N],f[N],t[N];
void fix(int x,int c){for(;x<N;x+=x&-x)maxx[x]=max(maxx[x],c);}
void clear(int x){for(;x<N;x+=x&-x)maxx[x]=0;}
int find(int x){int ret=0;for(;x;x-=x&-x)ret=max(maxx[x],ret);return ret;}
void solve(int l,int r)
{
    if(l==r)return;
    int m=(l+r)>>1,h1=l,h2=m+1;
    for(int i=l;i<=r;i++)
    {
        if(p[i].idx<=m)pp[h1++]=p[i];
        else pp[h2++]=p[i];
    }for(int i=l;i<=r;i++)p[i]=pp[i];
    solve(l,m);h1=l,h2=m+1;
    for(int i=m+1,j=l;i<=r;i++)
    {
        while(p[j].a<p[i].a&&j<=m)fix(p[j].b,f[p[j].idx]),j++;
        f[p[i].idx]=max(f[p[i].idx],find(p[i].b-1)+1);
    }for(int i=l;i<=m;i++)clear(p[i].b);
    solve(m+1,r);h1=l,h2=m+1;
    for(int i=l;i<=r;i++)
    {
        if(h1<=m&&(h2>r||p[h1].a<p[h2].a))pp[i]=p[h1++];
        else pp[i]=p[h2++];
    }for(int i=l;i<=r;i++)p[i]=pp[i];
}
bool cmp(const node &a,const node &b){return a.a<b.a;}
int main()
{
    scanf("%d",&n);f[1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d%d",&p[i].a,&p[i].b);p[i].idx=i;t[i]=p[i].b;
    }sort(t+1,t+n+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)p[i].b=lower_bound(t+1,t+n+1,p[i].b)-t;
    sort(p+1,p+n+1,cmp);solve(1,n);int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,f[i]);//printf("%d\n",f[i]);
    printf("%d\n",ans);
}

BZOJ2716: [Violet 3]天使玩偶

CDQ分治可以做，别问我，反正CDQ分治还跑不过KD-Tree呢！

BZOJ3672: [Noi2014]购票

直接上链接就可以了...我写过这篇题解！https://www.cnblogs.com/Winniechen/p/9247939.html

那么CDQ分治就到这里了...

转载于:https://www.cnblogs.com/Winniechen/p/9266429.html

玄学算法CDQ分治
来自Fop_zz的辣鸡题解或教程
04-21 1375
啊刚学这个啊 刚过了一道题就屁颠屁颠来写博客很虚啊 bzoj4553 就是这道题说一下我对CDQ分治的理解 我感觉。。这个就类似于。。把暴力，转化为。。容易优化的暴力。。然后优化？？并且一般只用于处理问题具有单调性的题，即f[i]对任意f[j](j={1..i}，不产生影响。例如最长上升子序列的问题我们本来需要枚举这个j，但是通过CDQ分治就不需要去全部枚举了我们处理1~n的时候，如果1~n
离线分治算法——CDQ分治详解
zsyzClb的博客
01-17 1798
以前做过的许多题目，都是在线算法，也就是对与一系列的询问，利用某种数据结构逐个求出答案。 而今天学了一种离线算法——CDQ分治，是将全部的询问放在一起，利用分治一同处理。 CDQ分治，由2008年国际信息学奥林匹克竞赛（IOI）金牌女选手陈丹琦在国家集训队中引入而得名，为算法竞赛界中的一个广泛称呼。 CDQ分治有两种，分别是基于时间的分治和基于值域的整体分治。 下面看就开始吧。 1.基于时间的分...
CDQ分治详解
m0_57344422的博客
05-22 1657
CDQ分治
[cdq分治习题练习]
MekakuCityActors的博客
08-20 630
bzoj1935 题意：给出n棵树的位置(xi,yi)，有m次询问，每次询问一个以(Xi,Yi)为左下角，(Li,Ri)为右上角的矩形内树的个数 题解：显然的三维偏序问题，一维是询问的时间T，一维是横坐标，一维是纵坐标。把初始的n棵树的位置当作插入，把询问当成4个二维前缀和相加减，由于时间是按照输入的顺序，所以第一维不需要排序，直接cdq分治处理第二维，树状数组维护第三维即可 /*********...
CDQ分治与整体二分
hipamp的博客
04-01 434
前言 CDQ分治和整体二分都是离线算法，并且都是基于分治的思想。大部分非强制在线的树套树题都可以使用整体二分或CDQ分治解决，当然也有一些是不行的，比如动态求区间种类数或者动态求区间 mexmexmex。 CDQ 分治 分治 首先要了解什么是分治，分治的全称为分而治之，英文名为 divide and conquerdivide\ and\ conquerdivide and conquer，和分治相关的算法有很多，譬如线段树，点分治，归并排序等。下面以归并排序为例。
【教程】简易CDQ分治教程&学习笔记
weixin_34040079的博客
12-25 225
前言 　　辣鸡蒟蒻__stdcall终于会CDQ分治啦！ CDQ分治是我们处理各类问题的重要武器。它的优势在于可以顶替复杂的高级数据结构，而且常数比较小；缺点在于必须离线操作。 　　CDQ分治的基本思想和实现都很简单，但是因为没有人给本蒟蒻详讲，所以我对着几篇论文头疼了一个下午，最终在menci和sxysxy大佬的帮助下学会了CDQ分治。本文介绍一些非常simple的CDQ分治问...
CDQ分治是什么
最新发布
08-10
<think>首先，用户的问题是关于CDQ分治算法的基本原理及其应用场景。我需要根据系统级指令来构建我的回答。 系统级指令关键点： - 所有行内数学表达式必须使用$...$格式。 - 独立公式必须使用$$...$$格式并单独成段。 - LaTeX语法正确。 - 使用中文回答。 - 生成相关问题。 - 回答中引用的段落末尾自然地添加引用标识。 - 回答结构清晰，帮助用户逐步解决问题，保证真实可靠。 参考站内引用： - 引用[1]：关于分治思想的描述，包括分块、递归等。 - 引用[2]：关于书籍的引用，不相关。 - 引用[3]：关于下载资源的链接，不相关。 用户真正的需求是理解CDQ分治的概念和原理，所以我需要专注于CDQ分治。 CDQ分治的基本原理： - CDQ分治是由陈丹琦（Chen Danqi）提出的一种算法，用于处理偏序问题，如三维偏序问题。 - 它是分治思想的一种应用，特别适合解决离线查询问题。 - 核心思想：将问题分成子问题，递归解决，然后合并结果，处理跨越子问题的部分。 应用场景： - 三维偏序问题：例如，给定点集，统计每个点满足某些条件的点数。 - 动态规划优化：如斜率优化等。 - 其他离线查询问题。 我的回答结构： 1. **介绍CDQ分治**：简要说明其背景和目的。 2. **基本原理**：解释算法步骤，使用数学表达式描述。 3. **应用场景**：列出常见应用。 4. **生成相关问题**：在最后添加相关问题。 5. **添加引用**：在引用段落末尾自然添加引用标识。 数学表达式： - 行内数学：如变量、点坐标等，使用$...$。 - 独立公式：如方程，使用$$...$$。 例如： - 行内：点$P_i = (a_i, b_i, c_i)$ - 独立：偏序关系公式。 生成相关问题： - 基于CDQ分治，如"CDQ分治如何优化三维偏序问题？"或"CDQ分治的时间复杂度分析？" 确保回答真实可靠： - 基于算法知识，CDQ分治常用于OI竞赛中处理偏序问题。 引用处理： - 参考引用[1]是关于分治思想的，我可以引用它来支持分治部分。 - 其他引用不相关，但系统说"请尽可能多的参考用户上一次的问题和你的回答"，但用户没有上一次问题，所以基于当前引用。 最终回答大纲： - 开头：介绍CDQ分治。 - 原理部分：分步骤解释，使用LaTeX。 - 应用场景：列举例子。 - 相关问题：在最后添加。 - 结尾：自然结束。</think>### CDQ分治算法的基本原理及其应用场景 CDQ分治（Chen Danqi Divide and Conquer）是由中国计算机科学家陈丹琦提出的一种分治算法变体，主要用于处理离线查询问题，特别是多维偏序问题（如三维偏序）。它在算法竞赛和数据处理中应用广泛，能高效解决一些复杂问题。下面我将逐步解释其基本原理和应用场景，确保内容清晰可靠。 #### 1. CDQ分治的基本原理 CDQ分治基于经典分治思想，但针对偏序问题进行了优化。核心思路是将问题递归分解为子问题，处理子问题内部和子问题之间的影响，最后合并结果。算法主要分为三个步骤：分、治、合。以下是详细解释： - **分（Divide）**：将输入数据（如点集）按某一维度（通常是时间或索引）分成两个大致相等的子集，记为左子集$L$和右子集$R$。例如，给定点集$P = \{P_1, P_2, \dots, P_n\}$，其中每个点$P_i = (a_i, b_i, c_i)$表示三维坐标，我们按第一维$a_i$排序并分割： $$ \text{mid} = \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor $$ 这样得到$L = \{P_i \mid i \leq \text{mid}\}$和$R = \{P_i \mid i > \text{mid}\}$。递归地对$L$和$R$应用相同过程。 - **治（Conquer）**：递归处理左子集$L$和右子集$R$，解决子问题内部的偏序关系。例如，在三维偏序问题中，目标是统计每个点$P_i$满足$a_j \leq a_i, b_j \leq b_i, c_j \leq c_i$的点数$j$（$j \neq i$）。递归调用确保子集内部的问题被解决。 - **合（Merge）**：合并子问题结果，并处理跨越子集$L$和$R$的影响。这是CDQ分治的关键： - 使用辅助数据结构（如树状数组或线段树）高效处理跨子集贡献。 - 例如，在三维偏序中，合并时需统计$L$中的点对$R$中点的贡献。具体做法： 1. 对$L$和$R$按第二维$b_i$排序。 2. 遍历$R$中的每个点$P_j$，同时维护一个树状数组，用于记录第三维$c_i$的累积值。 3. 对于$P_j$，查询树状数组中满足$c_k \leq c_j$的点数（$k$来自$L$），并累加到结果。 这确保了跨子集贡献在$O(n \log n)$时间内完成。 整个算法的时间复杂度为$O(n \log^2 n)$，其中$n$是数据规模。递归公式可表示为： $$ T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right) + O(n \log n) $$ 其中$O(n \log n)$来自合并步骤的排序和树状数组操作。CDQ分治通过“分而治之”高效处理了偏序关系[^1]。 #### 2. CDQ分治的应用场景 CDQ分治特别适合离线查询问题，其中数据点固定，查询可批量处理。常见应用包括： - **三维偏序问题**：如统计逆序对或点对关系。例如，在竞赛中，给定点集统计每个点“支配”的点数（即所有维度都小于等于该点的点）。CDQ分治能高效解决，时间复杂度优于暴力$O(n^2)$。 - **动态规划优化**：用于优化序列问题，如最长上升子序列（LIS）或斜率优化问题。通过分治处理状态转移，减少计算量。 - **离线查询处理**：在数据库或算法中，处理批量查询，如区间统计或范围查询。CDQ分治将查询排序后递归处理，避免实时开销。 - **其他领域**：在计算几何（如最近点对问题）和机器学习数据预处理中也有应用，但需结合具体算法调整。 CDQ分治的优势在于其通用性和效率，但要求问题具有“可分治性”，即子问题独立且合并步骤可高效实现。实际应用中，常结合树状数组等数据结构提升性能。 #### 相关问题 1. CDQ分治如何处理更高维度的偏序问题（如四维偏序）？ 2. CDQ分治与普通分治算法的主要区别是什么？ 3. CDQ分治在动态规划优化中的具体实现案例？ [^1]: 分治思想的核心是递归分解问题，然后合并结果，这在CDQ分治中得到充分体现，如分割点集并递归处理子问题。 [^2]: 算法理论常参考经典书籍，但CDQ分治更常见于竞赛和算法论文。
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