P3157 [CQOI2011]动态逆序对

原创已于 2022-09-28 16:40:47 修改 · 1k 阅读

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#算法 #数据结构 #图论

于 2022-09-27 19:49:54 首次发布

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本文介绍了一道经典算法题“CQOI2011动态逆序对”的解决方案，通过使用cdq分治技巧，解决在序列中动态删除元素前后逆序对数量的变化问题。采用三维偏序cdq分治和树状数组来高效地统计逆序对数目。

P3157 [CQOI2011]动态逆序对

题目描述

对于序列 $A$ ，它的逆序对数定义为满足 $i < j$ ，且 $A_i>A_j$ 的数对 $(i, j)$ 的个数。

给 $1$ 到 $n$ 的一个排列，按照某种顺序依次删除 $m$ 个元素。

你的任务是在每次删除一个元素之前统计整个序列的逆序对数。

输入格式

输入第一行包括 $n$ 和 $m$ ，表示初始元素的个数和删除的元素个数。

第二行 $n$ 个元素表示初始序列。

第三行 $m$ 个数表示每次要删除元素的值。

输出格式

输出包含 $m$ 行，表示删除每个元素之前，该序列逆序对的个数。

输入样例

5 4
1 5 3 4 2
5 1 4 2

输出样例

数据范围

$n\leq 10^5,m\leq 5\times10^4$

题解

前置知识： $c d q$ 分治

删除操作比较麻烦，所以我们可以倒着做，一开始有 $n - m$ 个元素，依次加入 $m$ 个元素，求每加入一个元素之后，该序列逆序对的数量。

设 $a_i$ 表示第 $i$ 个数的值， $t_i$ 表示第 $i$ 个数插入序列的时间。先将开始的 $n - m$ 个元素插入序列，再将 $m$ 个元素依次插入序列。

当 $i$ 插入序列后，序列的逆序对增加的数量为满足以下条件的 $j$ 的数量：

$j<i,a_j>a_i,t_j<t_i$ 或者 $j>i,a_j<a_i,t_j<t_i$

所以，我们可以先按 $j<i,a_j>a_i,t_j<t_i$ 为偏序做一次 $c d q$ ，再按 $j>i,a_j<a_i,t_j<t_i$ 为偏序做一次 $c d q$ ，就可以得出各点加入序列后对逆序对数量的贡献。这里用到了三维偏序 $c d q$ ，所以要用 $c d q$ 中还要用数状数组来维护答案。

最后按顺序将贡献累加，即可达到答案。时间复杂度为 $O(nlog^2n)$

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,vt=0,d[100005],tr[100005];
struct node{
    int x,id,t;
    long long ans;
}a[100005],b[100005];
bool cmp(node ax,node bx){
    return ax.t<bx.t;
}
int lb(int i){
    return i&(-i);
}
void add(int i,int t){
    while(i<=n){
        tr[i]+=t;i+=lb(i);
    }
}
int find(int i){
    int re=0;
    while(i){
        re+=tr[i];i-=lb(i);
    }
    return re;
}
void cdq1(int l,int r){
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)/2;
    cdq1(l,mid);cdq1(mid+1,r);
    int i=l,j=mid+1,k=l;
    while(i<=mid&&j<=r){
        if(a[i].id<a[j].id){
            add(a[i].x,1);
            b[k]=a[i];++i;++k;
        }
        else{
            a[j].ans+=find(n)-find(a[j].x-1);
            b[k]=a[j];++j;++k;
        }
    }
    while(i<=mid){
        add(a[i].x,1);b[k]=a[i];++i;++k;
    }
    while(j<=r){
        a[j].ans+=find(n)-find(a[j].x-1);
        b[k]=a[j];++j;++k;
    }
    for(int o=l;o<=mid;o++){
        add(a[o].x,-1);
    }
    for(int o=l;o<=r;o++) a[o]=b[o];
}
void cdq2(int l,int r){
    if(l==r) return;
    int mid=(l+r)/2;
    cdq2(l,mid);cdq2(mid+1,r);
    int i=l,j=mid+1,k=l;
    while(i<=mid&&j<=r){
        if(a[i].x<a[j].x){
            add(a[i].id,1);
            b[k]=a[i];++i;++k;
        }
        else{
            a[j].ans+=find(n)-find(a[j].id-1);
            b[k]=a[j];++j;++k;
        }
    }
    while(i<=mid){
        add(a[i].id,1);b[k]=a[i];++i;++k;
    }
    while(j<=r){
        a[j].ans+=find(n)-find(a[j].id-1);
        b[k]=a[j];++j;++k;
    }
    for(int o=l;o<=mid;o++){
        add(a[o].id,-1);
    }
    for(int o=l;o<=r;o++) a[o]=b[o];
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i].x);a[i].id=i;
    }
    for(int i=1,x;i<=m;i++){
        scanf("%d",&x);d[x]=m-i+1;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!d[a[i].x]) d[a[i].x]=--vt;
        a[i].t=d[a[i].x];
    }
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    cdq1(1,n);
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    cdq2(1,n);
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    for(int i=2;i<=n;i++) a[i].ans+=a[i-1].ans;
    for(int i=n;i>=1;i--){
        if(a[i].t>0) printf("%lld\n",a[i].ans);
    }
    return 0;
}