求mid时的右移操作

有时我们会看到大佬在写二分或线段树时会用到右移操作来求$mid$，具体如下：

int mid=l+r>>1

以前我认为他们这么打的原因是右移比用除号更快，但后来我才意识到不仅仅如此。

右移操作

右移操作就是将数的二进制形式向右移一位，符号不变。

比如$7$，$(7{)}_{10}=(111{)}_2$，则$7>>1$就等于$(11{)}_2$，也就是3

那么负数呢？
比如求$-9>>1$的值，这个过程可能比较繁琐：
$-9$的原码：0000 1001
$-9$的补码：1111 0111
右移后：1111 1011 （右移操作时，符号位是什么，最高位就补什么）
转为原码：-5

对于负数，原码各位取反再加一得补码，补码各位取反再加一得原码

其实正数也要经过以上这个转为补码再转回原码的过程，只不过正数的原码和补码相等，所以这个步骤可以省略。

mid的运用

$mid$在分治算法中常常被运用，比如线段树。下面就举一个线段树中使用$mid$的例子：

void build(int k,int l,int r){
	int mid=(l+r)/2;
	build(k*2,l,mid);
	build(k*2+1,mid+1,r);
}

如果$l,r$的和正数，因为除操作对正数向下取整，所以分成的两个区间分别是$[l,mid]$和$[mid+1,r]$

但如果$l,r$的和是负数呢？则就不能这样了。除操作对负数向上取整，所以如果用以上方法求$mid$，则分成的两个区间分别为$[l,mid-1]$和$[mid,r]$。我们需要加上一个判断来调整代码，十分麻烦。

用右移求mid

右移一位在正数范围内与用除号除以二一样，都是除以二向下取整。但在负数就不同了，除号变为向上取整，但右移还是向下取整。

就举上文的例子。$-9/2=-4$，但$-9>>1=-5$。所以，如果用右移一位来求$mid$，则不管$l,r$为何值，分成的两个区间都是$[l,mid]$和$[mid+1,r]$

还是上文线段树建树的例子，我们用右移操作完成：

void build(int k,int l,int r){
	int mid=l+r>>1;
	build(k<<1,l,mid);
	build(k<<1|1,mid+1,r);
}

这样的话，线段树就可以用在任意值域（当然,$l,r$必须为整数），不仅代码简洁，代码速度也会有所提升。