线段树优化DP

原创 已于 2022-09-09 16:14:50 修改 · 1.1k 阅读 · 3 ·
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#算法 #c++

于 2022-09-06 19:49:05 首次发布
本文探讨了如何在动态规划问题中利用线段树技术，将决策点的最值计算时间从O(n)提升到O(logn)，通过实例HDU4719、POJ2750等展示其在算法优化中的实际应用。深入解析了OhMyHolyFFF、PottedFlower等题目背后的原理和技巧。

在动态规划中，如果决策点是一段或若干段区间的最值，一般可以用线段树来快速求出决策点，将转移的时间复杂度从 O ( n ) O(n) O(n)优化到 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)
细节不必多讲，以下是例题，内附题解，以及题目来源的链接。

例题

1.【HDU4719】Oh My Holy FFF
2.【POJ2750】Potted Flower
3.CF 487B Strip
4.CF 474E Pillars
更多题目，敬请期待…

Dijkstra算法的线段树优化
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线段树优化DP [Poi2010]Monotonicity 2
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区间dp,数据结构优化dp等6种dp,各种trick深度讲解
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区间DP的核心思想是分治+合并。当我们面对一个区间问题时，可以将其分解为两个或多个子区间，分别求解后再合并。f[l][r]表示区间[l, r]的最优解f[l][r][k]表示区间[l, r]且具有某种特性k时的最优解表示区间两端状态分别为x,y时的最优解为什么枚举长度？因为我们需要保证在计算大区间时，所有小区间都已经计算完成。这是DP的无后效性要求。f[i][j]→f[i%2][j]降维打击：分析状态依赖关系，减少维度DP提高课到这里就真正结束了。
2016多校8 HDU 5828 Rikka with Sequence 线段树优化
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2016多校联合训练#8HDU 5828 Rikka with Sequence线段树优化 传送门：HDU 题意很明确是线段树，需要三种操作：区间更新(加值)，区间开根号，区间求和。区间开根号就是区间内部每一个值开根号。思路先膜吧：我和这个大佬的代码风格很像，所以看的很舒服，大佬思路也很详细清晰，适合我这种咸鱼看。膜膜膜。区间更新和求和直接套线段树板子，问题就在于区间开跟。开跟没有什么特别好的性
洛谷 P1725 琪露诺（线段树优化dp）
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https://www.luogu.com.cn/problem/P1725
线段树 & 线段树合并优化 DP
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线段树 & 线段树合并优化 DP
【luogu P5044】meetings 会议（线段树优化DP）（笛卡尔树）
欢迎您的光顾awa
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给你一个序列，每次问你一个区间，要你在里面选一个位置，使得区间里面每个位置和你选的位置组成的区间的最大值的和最小。输出这个最小的和。
P2605 [ZJOI2010]基站选址（线段树优化dp经典题）
bunny_1024的博客
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思路总结：线段树优化dp的基本套路是，把当前要计算的dp信息放在f数组中，把上一轮计算完的dp信息放在线段树里，通过线段树快速的区间加，区间查询操作推算出当前的dp值。
数据--dp，线段树优化
weixin_30276935的博客
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题目描述 Mr_H 出了一道信息学竞赛题，就是给 n 个数排序。输入格式是这样的：试题有若干组数据。每组数据的第一个是一个整数 n，表示总共有 n 个数待排序；接下来 n 个整数，分别表示这 n 个待排序的数。 例如：3 4 2 –1 4 1 2 3 4，就表示有两组数据。第一组有 3 个数(4,2,-1)，第二组有 4个数(1,2,3,4)。可是现在 Mr_H 做的输入数...
线段树优化建图
呆头呆脑没有烦恼
05-10 2713
有一种最短路问题，有的边是从区间到区间的，这个时候点操作就不是很好办（边比较多）。于是考虑建线段树优化建图。两颗线段树：入与出。（出表示从这里出发，入表示进到了这个点）于是每条区间加边就可以转为log级别。1、平行节点间，从入连向出一条0边（进入了这个点，当然可以从这个点出发）。2、入线段树中，每个点都像左右儿子区间连0边（进入了这个区间，也可以认为进入了区间的子集）。3、出线段树每个点都像父亲连...
AtCoder Regular Contest 073F Many Moves 线段树优化dp
olahiuj的博客
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Description 有一排n个格子，一开始两个棋子在a和b。一个长度为m的操作序列要求第i次要将一个棋子移动到第x[i]个格子。一次移动代价为两格子之间距离，最小化代价之和 n≤2e5n\le2e5n≤2e5 Solution 非常套路的dp，设f[i,j]表示一个棋子在x[i],另一个在j的最小答案，保证j<x[i]。 转移的话我们往后推看是哪个棋子移动到了x[i+1]就好了，这样...
CF 474E. Pillars （线段树优化dp）
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link 分析 dp[ i ] 表示i的所有贡献 贪心的思想 假设i->j 我们每次都会选择 那个能到达的最远的那个k 这样我们可以保证我们少走至少一次 所以我们倒着推 ​ #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define int long long //typedef long long ll; typedef pair<int,int> pii; #define x first #define y sec
D. Optimal Partition 线段树优化dp
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题目link 参考 思路 考虑 f[i]f[i]f[i] 为以iii结尾的最大价值 ,s[i]s[i]s[i] a[]a[ ]a[] 的前缀和数组 那么容易想到 f[i]=max(f[i],f[j]+s[i]−s[j])j∈[0,i);f[i] = max(f[i],f[j] + s[i]-s[j]) j \in [0,i);f[i]=max(f[i],f[j]+s[i]−s[j])j∈[0,i); O(n2)O(n^2)O(n2) 的复杂度 考虑优化 上式可转化为 f[i]={f[j]−j+i,s[i
The Monochrome Picture SGU - 458 线段树优化dp
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参考:https://vjudge.net/solution/2633272题意: 给定一个序列,删除最少的数使得任意两个相邻的数的abs不会相差1,看来自己还是不太熟悉线段树,原本居然不知道怎么处理这个地方的用线段树的优化..#include<bits/stdc++.h>using namespace std; #define up 1000000 #define N 100050 #defin
线段树优化dp最大值最小值
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在动态规划问题中，当需要频繁查询区间最大值或最小值时，线段树是一种非常有效的数据结构，能够显著优化时间复杂度。线段树可以在 $ O(\log n) $ 的时间内完成区间查询和单点更新操作，从而替代暴力方法中 $ O(n) $ 的区间扫描，使得整体算法效率大幅提升。 例如，在某些动态规划问题中，状态转移方程可能依赖于某个区间内的最大值或最小值。以一个典型的例子来看，假设有一个状态转移方程： $$ dp[i] = \min(dp[i], \min_{j=i-L}^{i-1} dp[j] + cost(i)) $$ 其中，$ \min_{j=i-L}^{i-1} dp[j] $ 部分可以通过线段树维护 $ dp $ 数组的区间最小值，从而快速获取当前状态所需的最小值。 此外，当动态规划问题涉及区间最大值和最小值的差值时，例如在某个区间内求最大值与最小值的差是否满足某种条件，线段树可以分别维护每个区间的最大值和最小值，从而在查询时快速获取这两个值[^4]。 为了实现线段树优化动态规划，通常需要构建一个线段树结构来维护当前状态下的最优值（最大值或最小值），并在每一步动态规划计算时，利用线段树查询所需的区间值。以下是一个简化的线段树实现，用于维护区间最小值的示例： ```cpp struct SegmentTree { vector<int> tree; int n; SegmentTree(int size) { n = 1; while (n < size) n <<= 1; tree.resize(n << 1, INT_MAX); } void update(int pos, int value) { pos += n; tree[pos] = value; while (pos >>= 1) tree[pos] = min(tree[pos << 1], tree[pos << 1 | 1]); } int query(int l, int r) { int res = INT_MAX; l += n; r += n; while (l <= r) { if (l % 2 == 1) res = min(res, tree[l++]); if (r % 2 == 0) res = min(res, tree[r--]); l >>= 1; r >>= 1; } return res; } }; ``` 在实际应用中，线段树优化动态规划的技巧常见于处理大规模数据的问题，如 Codeforces 上的某些题目，其中涉及划分区间并求取区间极值的场景[^3]。
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