二元正态分布的概率密度函数

二元正态分布随机变量

如果随机变量$X$、$Y$的联合PDF为
$$p_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_x{\sigma }_Y\sqrt{1-p^2}}\exp \left\{-\frac{\frac{(x-{\mu }_X{)}^2}{{\sigma }_X^2}+\frac{(y-{\mu }_Y{)}^2}{{\sigma }_Y^2}-\frac{2\rho (x-{\mu }_X)(y-{\mu }_Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}}{2(1-{\rho }^2)}\right\}$$
则称$X$、$Y$满足二元正态分布,其中$X\sim N({\mu }_X,{\sigma }_X^2)，Y\sim N({\mu }_Y,{\sigma }_Y^2)$，协方差CXY=E{ XY}−μXμYC_{XY}={\rm E}\{XY\}-\mu_X\mu_YCXY​=E{ XY}−<