【理解矩阵】二_笔记

仅记录学习孟岩老师的 blog 时的收获， 孟岩老师的原文章见 http://blog.youkuaiyun.com/myan/article/details/649018

---

初等数学是研究常量的数学，是研究静态的数学，高等数学是变量的数学，是研究运动的数学。

《重温微积分》—— 齐民友教授

运动：连续过程，逐点经过。

跃迁： 不需要逐点经过，瞬间发生的行为。

“ 矩阵是线性空间里跃迁的描述。”   →   “ 矩阵是线性空间里变换的描述。” （变换：空间里从一个点/元素/对象到另一个点/元素/对象的跃迁。）

? 1、矩阵

       矩阵：在一个线性空间 V 里的一个线性变换 T，当选定一组基之后，就可以表示为矩阵。

              线性变换：设有一种变换 T，使得对于线性空间 V 中间任何两个不相同的对象 x 和 y，以及任意实数 a 和 b，有T(ax+by)=aT(x)+bT(y)，那么就称 T 为线性变换。（从一个线性空间 V 的某一个点跃迁到另一个线性空间 W 的另一个点的运动。）

              选定一组基：选定线性空间里的一个坐标系。

       → “ 矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。在一个线性空间中，只要我们选定一组基，那么对于任何一个线性变换，都能够用一个确定的矩阵来加以描述。”

? 2、相似矩阵

       如上所说，矩阵是线性空间中的线性变换的一个描述。如果换一组基，又可以得到一个不同的矩阵，但所有这些矩阵都是同一个线性变换的描述?（❗ 区别线性变换本身与线性变换的描述 ❗）

       而这些矩阵共同的特点我们可以找到，假设 A、B 分别是同一个线性变换的不同描述，我们可以找到一个非奇异矩阵 P，使得 。

       没错，上面的 A 和 B 就是相似矩阵，我们就得到了相似矩阵的本质，所谓相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述。

       而矩阵 P，就是 A 矩阵所基于的基与 B 矩阵所基于的基之间的一个变换关系。

例，为什么实际应用中会多次用到相似矩阵，原因原来在这里！

? 3、结束语

       矩阵不仅可以作为线性变换的描述，而且可以作为一组基的描述。而作为变换的矩阵，不但可以把线性空间中的一个点给变换到另一个点去，而且也能够把线性空间中的一个坐标系（基）表换到另一个坐标系（基）去。而且，变换点与变换坐标系，具有异曲同工的效果。线性代数里最有趣的奥妙，就蕴含在其中。理解了这些内容，线性代数里很多定理和规则会变得更加清晰、直觉。