拓扑排序

一个较大的工程往往被划分成许多子工程，我们把这些子工程称作活动(activity)。在整个工程中，有些子工程(活动)必须在其它有关子工程完成之后才能开始，也就是说，一个子工程的开始是以它的所有前序子工程的结束为先决条件的，但有些子工程没有先决条件，可以安排在任何时间开始。为了形象地反映出整个工程中各个子工程(活动)之间的先后关系，可用一个有向图来表示，图中的顶点代表活动(子工程)，图中的有向边代表活动的先后关系，即有向边的起点的活动是终点活动的前序活动，只有当起点活动完成之后，其终点活动才能进行。通常，我们把这种顶点表示活动、边表示活动间先后关系的有向图称做顶点活动网(Activity On Vertex network)，简称AOV网。
一个AOV网应该是一个有向无环图，即不应该带有回路，因为若带有回路，则回路上的所有活动都无法进行。如图3-6是一个具有三个顶点的回路，由（A,B）边可得B活动必须在A活动之后，由（B,C）边可得C活动必须在B活动之后，所以推出C活动必然在A活动之后，但由（C,A）边可得C活动必须在A活动之前，从而出现矛盾，使每一项活动都无法进行。这种情况若在程序中出现，则称为死锁或死循环，是应该必须避免的。
在AOV网中，若不存在回路，则所有活动可排列成一个线性序列，使得每个活动的所有前驱活动都排在该活动的前面，我们把此序列叫做拓扑序列(Topological order)，由AOV网构造拓扑序列的过程叫做拓扑排序(Topological sort)。AOV网的拓扑序列不是唯一的，满足上述定义的任一线性序列都称作它的拓扑序列。
由AOV网构造出拓扑序列的实际意义是：如果按照拓扑序列中的顶点次序，在开始每一项活动时，能够保证它的所有前驱活动都已完成，从而使整个工程顺序进行，不会出现冲突的情况。
由AOV网构造拓扑序列的拓扑排序算法主要是循环执行以下两步，直到不存在入度为0的顶点为止。
(1) 选择一个入度为0的顶点并输出之；
(2) 从网中删除此顶点及所有出边。
循环结束后，若输出的顶点数小于网中的顶点数，则输出“有回路”信息，否则输出的顶点序列就是一种拓扑序列。