算法基础 -- Fenwick树的实现原理

线段树与Fenwick树详解及C语言实现

线段树简介

线段树（Segment Tree）是一种二叉树结构，主要用于在数组修改的同时，快速进行区间查询。常见应用包括区间求和、区间最小值、区间最大值等。

线段树的特点

• 时间复杂度：构建、查询和更新均为O(log n)
• 适用场景：频繁的区间操作，如区间更新和查询

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Fenwick树（树状数组）简介

Fenwick树（树状数组）是一种高效处理前缀和及单点更新的数据结构。其核心操作是通过lowbit函数获取当前索引的最低位1所代表的值。

Fenwick树的特点

• 时间复杂度：构建、查询和更新均为O(log n)
• 适用场景：前缀和查询和单点更新

Fenwick树的C语言实现

#include <stdio.h>
#define MAXN 1000
int tree[MAXN + 1];
int lowbit(int x) { return x & -x; }
void update(int index, int value, int n) { while (index <= n) { tree[index] += value; index += lowbit(index); } }
int query(int index) { int result = 0; while (index > 0) { result += tree[index]; index -= lowbit(index); } return result; }
int range_query(int left, int right) { return query(right) - query(left - 1); }
int main() {
    int n = 10, arr[] = {0, 1, 7, 3, 0, 7, 8, 3, 2, 6, 2};
    for (int i = 1; i <= n; i++) update(i, arr[i], n);
    printf("前5个元素的和：%d\n", query(5));
    printf("区间[3, 7]的元素和：%d\n", range_query(3, 7));
    update(4, 5, n);
    printf("更新后前5个元素的和：%d\n", query(5));
    return 0;
}

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Fenwick树的下标示意图

以下为大小为25的Fenwick树的下标关系示意图：
在这里插入图片描述

graph TD
    A1[1] --> A2[2]
    A2 --> A4[4]
    A3[3] --> A4
    A4 --> A8[8]
    A5[5] --> A6[6]
    A6 --> A8
    A7[7] --> A8
    A9[9] --> A10[10]
    A10 --> A12[12]
    A11[11] --> A12
    A12 --> A16[16]
    A13[13] --> A14[14]
    A14 --> A16
    A15[15] --> A16
    A17[17] --> A18[18]
    A18 --> A20[20]
    A19[19] --> A20
    A20 --> A24[24]
    A21[21] --> A22[22]
    A22 --> A24
    A23[23] --> A24
    A25[25]

    style A26 fill:#f0f0f0,stroke:#888,stroke-dasharray:5,5
    style A28 fill:#f0f0f0,stroke:#888,stroke-dasharray:5,5
    style A29 fill:#f0f0f0,stroke:#888,stroke-dasharray:5,5
    style A30 fill:#f0f0f0,stroke:#888,stroke-dasharray:5,5
    style A31 fill:#f0f0f0,stroke:#888,stroke-dasharray:5,5
    style A32 fill:#f0f0f0,stroke:#888,stroke-dasharray:5,5

说明

• 节点含义：每个节点i保存从i - lowbit(i) + 1到i区间的前缀和。
• 索引关系：
  • lowbit函数用于计算索引的最低位1，确定区间范围。
  • 例如：节点8保存[1,8]的和，节点4保存[1,4]的和。

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