数学基础 -- 欧拉函数笔记

欧拉函数

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一、欧拉函数的定义

对于一个正整数 $n$ ，欧拉函数 $\varphi (n)$ （或记作 $\phi (n)$） 被定义为在区间 $[1,n]$ 内与 $n$ 互素 的正整数的个数。

• 互素（coprime 或 relatively prime）指的是两个整数的最大公素为 1。
• 例如：
  • $\varphi (1)=1$，因为只考虑 1 这个数本身，它和自己“互素”（$\gcd (1,1)=1$）。
  • $\varphi (12)=4$，因为在 { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 } \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\} {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 中，与 12 互素的数是 { 1 , 5 , 7 , 11 } \{1, 5, 7, 11\} {1,5,7,11}，共有 4 个。

欧拉函数在数论、群论及密码学等领域都具有重要场景应用。

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二、欧拉函数的基本性质

1. 如果 $p$ 为素数，则 $\varphi (p)=p-1$。

   • 因为与一个素数 $p$ 互素的数就是 $[1,p-1]$ 中的所有数。

2. 如果 $p$ 为素数且 $k$ 为正整数，则 $\varphi (p^k)=p^k-p^{k-1}$。

   • 为什么是这样？在 $[1,p^k]$ 中，能被 $p$ 整除的数举有 $p^{k-1}$ 个，而互素的就剩下 $p^k-p^{k-1}$ 个。

3. 乘法性质（Multiplicative）

   • 如果 $m$ 和 $n$ 互素（$\gcd (m,n)=1$），则
     $$\varphi (mn)=\varphi (m)\times \varphi (n).$$

4. 一般计算方法

   • 对于任意正整数 $n$，如果它的素因导数为：
     $$n=p_1^{a_1}\times p_2^{a_2}\times \cdots \times p_k^{a_k},$$
     则
     $$\varphi (n)=n\times \left(1-\frac{1}{p_1}\right)\times \left(1-\frac{1}{p_2}\right)\times \cdots \times \left(1-\frac{1}{p_k}\right).$$

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三、欧拉定理与费马小定理的关系

• 欧拉定理（Euler’s Theorem）
  如果 $\gcd (a,n)=1$，则
  $$a^{\varphi (n)}\equiv 1(\mathrm{mod}n).$$

• 费马小定理（Fermat’s Little Theorem）
  当 $n=p$ 为素数时，欧拉定理简化为
  $$a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p).$$
  可见，费马小定理是欧拉定理的一个特例。

欧拉定理在计算大数模运算时提供了有力工具，如果知道 $\varphi (n)$，我们可以用 $\mathrm{mod}\varphi (n)$ 方式来简化指数的大小。

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四、应用场景案例：RSA 密码中的运用

RSA 密码算法是现代公钥密码体制的典范之一，它的安全性很大程度上依赖数论知识，欧拉函数在其中执行“核心公式”的作用。

1. 步骤概述

• 选择两个大素数 $p$ 与 $q$。
• 计算 $n=p\times q$。
• 计算 $\varphi (n)$。对于素数 $p$ 和 $q$，
  $$\varphi (n)=\varphi (p\times q)=\varphi (p)\times \varphi (q)=(p-1)\times (q-1).$$
• 选择一个与 $\varphi (n)$ 互素的整数 $e$（例如小素数）。
• 计算 $d$，使得
  $$e\times d\equiv 1(\mathrm{mod}\varphi (n)).$$
• 公钥为 $(e,n)$，私钥为 $(d,n)$。

2. 具体数值举例

• 选取素数：以 $p=11,q=13$ 为例。
• 计算 $n$：
  $$n=11\times 13=143.$$
• 计算 $\varphi (n)$：
  $$\varphi (143)=\varphi (11\times 13)=(11-1)\times (13-1)=10\times 12=120.$$
• 选择 $e$：在 $[1,120]$ 内选一个与 120 互素的小素数，比如 $e=7$ （$\gcd (7,120)=1$）。
• 求 $d$：我们需要解为
  $$7\times d\equiv 1(\mathrm{mod}120).$$
  通过扩展欧几里得算法求，可得 $d=103$，因为
  $$7\times 103=721\equiv 1(\mathrm{mod}120).$$
• 因此，公钥 $(e,n)=(7,143)$，私钥 $(d,n)=(103,143)$。

3. 加密解密过程中的欧拉函数贡献

• 加密：如果需要加密一条消息 $M$，将其转化为数值，并得到密文 $C$：
  $$C\equiv M^e(\mathrm{mod}n).$$
• 解密：利用私钥 $(d,n)$，解密得
  $$M\equiv C^d(\mathrm{mod}n).$$
• 为什么解密能恢复原文？这依赖于欧拉定理：
  $$(M^e{)}^d=M^{ed}\equiv M^{1+k\varphi (n)}\equiv M(\mathrm{mod}n),$$
  其中 $ed\equiv 1(\mathrm{mod}\varphi (n))$。

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五、总结

1. 欧拉函数 $\varphi (n)$ 的要点

   • 定义：$[1,n]$ 中与 $n$ 互素的整数个数。
   • 关键性质：对于素数或素数带的形式有显式计算公式，且具有乘法性。
   • 应用范围：数论、同余运算、密码学（如 RSA），对大数的指数运算起到简化与支撑作用。

2. 典型应用场景

   • 计算同余幂时，利用欧拉定理简化指数