六、[LeetCode OJ]Maximum Subarray

【问题描述】

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
the contiguous subarray [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

问题来源：Maximum Subarray

【问题分析】

题意：先来理解一下题意，给定一个数组，找出一个连续的子数组，使得子数组之和是最大值。

方法一：令max = nums[0]，sum = 0。遍历nums，nums[i]与sum相加，如果sum大于max，用sum替换max的值；如果sum小于0了，重置sum为0，最后返回max，时间复杂度为遍历一遍数组O(N )。

方法二：分治方法：

我们首先定义几个参数：

sum——一个数组的和；

leftmx——从数组最左开始最大的和；

rightmx——从数组最右开始最大的和；

mx——数组最大的和。

将一个数组A从中间分开，变成两个子数组A1和A2，leftmx1，rightmx1，mx1，sum1表示子数组A1的参数，leftmx2，rightmx2，mx2，sum2表示子数组A2的参数。

有以下关系：

mx = max(max(mx1, mx2), rightmx1 + leftmx2)；

leftmx = max(leftmx1, sum1 + leftmx2)；

rightmx = max(rightmx2, sum2 + rightmx1)；

sum = sum1 + sum2。

对子数组也进行上面的分治操作，直到数组变成不可拆分的单元，即left等于right，此时leftmx = rightmx = mx = sum = nums[left]。

最后返回mx。T(n) = 2T(n/2) + O(1)，时间复杂度为O(N)。

【源代码】

方法一：

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int max = nums[0];
        int sum = 0;
        int i = 0;
        while (i < nums.size()) {
        	sum += nums[i];
        	if (sum > max) {
        		max = sum;
        	}
        	if (sum < 0) {
        		sum = 0;
        	}
        	i++;
        }
        return max;
    }
};

方法二（分治方法）：

/**
sum-------the total sum of the subarray.
leftmx----largest sum starting from the left most element.
rightmx---largest sum starting ending the right most element.
mx--------largest sum of the subarray.
**/
class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() == 0) {
        	return 0;
        }
        if (nums.size() == 1) {
            return nums[0];
        }
        int mx,leftmx,rightmx,sum = 0;
        maxSubArray(nums, 0, nums.size()-1, mx, leftmx, rightmx, sum);
        return mx;
    }
private:
	void maxSubArray(vector<int>& nums, int left, int right, int& mx, int& leftmx, int& rightmx, int& sum) {
		if (left == right) {
			mx = leftmx = rightmx = sum = nums[left];
		} else {
			int leftmx1, sum1, rightmx1, mx1 = 0;
			int leftmx2, sum2, rightmx2, mx2 = 0;
			int mid = (left + right) / 2;
			maxSubArray(nums, left, mid, mx1, leftmx1, rightmx1, sum1);
			maxSubArray(nums, mid+1, right, mx2, leftmx2, rightmx2, sum2);
			mx = max(max(mx1, mx2), rightmx1 + leftmx2);
			leftmx = max(leftmx1, sum1 + leftmx2);
			rightmx = max(rightmx2, sum2 + rightmx1);
			sum = sum1 + sum2;
		}
	}
};