奶牛排序 cow sort 置换群

最新推荐文章于 2022-10-02 09:33:33 发布

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博客围绕农夫JOHN给牛排序问题展开，需将N头牛按脾气值排序，交换脾气值为X和Y的牛需X+Y秒。解题思路是把问题看作置换问题，乱序排列存在循环节，给出两种置换策略及花费计算方式，以求出最短排序时间。

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链接：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/924/H
来源：牛客网

题目描述

农夫JOHN准备把他的 N（1 <= N <= 10,000）头牛排队以便于行动。因为脾气大的牛有可能会捣乱，JOHN想把牛按脾气的大小排序。每一头牛的脾气都是一个在1到100，000之间的整数并且没有两头牛的脾气值相同。在排序过程中，JOHN可以交换任意两头牛的位置。因为脾气大的牛不好移动，JOHN需要X+Y秒来交换脾气值为X和Y的两头牛。
请帮JOHN计算把所有牛排好序的最短时间。

输入描述:

第1行： 一个数， N。
第2~N+1行： 每行一个数，第i+1行是第i头牛的脾气值。

输出描述:

第1行： 一个数，把所有牛排好序的最短时间。

示例1

输入

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输出

复制

第一次接触这个概念，一开始没有什么思路，后来看博客才知道这个东西就是个置换问题。

题意：就是一个乱序的排列通过两两置换来达到升序，每次置换所需的价格是两点权值之和。

思路：首先理解一个乱序排列存在循环节，也就是说其中一坨经过变换可以达到他们的升序应该的位置，与其他的无关

例如升序时： 1 2 3 4 5 6

乱序时： 4 6 3 1 2 5

如上所示，41为一个循环节，256为一个循环节，3为一个循环节

那么对于每一个长度为n循环节的来说最优的策略就是用这n个数中的最小数来进行n-1次变换，

如上6 2 5 ，就是用2先和5换位置，变成6 5 2，再换2和6那么就是2 5 6 正确的顺序。

但是其实除了循环节自身进行n-1次置换，还有一种可能最优的策略就是拿一个所有数中最小的数，与循环节里边的数进行n+1变换，具体自己理解上边的例子就是你可以用 1来对上边的 6 2 5来变换

那么这两种花费分别为循环节里的最小的数*（循环节长度-1）+循环节里其他数的和

最小的数*（循环节的长度+2）+循环节里所有数之和

具体看代码自己模拟理解：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
#include<map>
#include<queue>
#include<stdlib.h>
#define myself i,l,r
#define lson i<<1
#define rson i<<1|1
#define Lson i<<1,l,mid
#define Rson i<<1|1,mid+1,r
#define half (l+r)/2
#define inff 0x3f3f3f3f
#define lowbit(x) x&(-x)
#define PI 3.14159265358979323846
#define min4(a,b,c,d) min(min(a,b),min(c,d))
#define min3(x,y,z) min(min(x,y),min(y,z))
#define pii make_pair
#define pr pair<int,int>
const int dir[4][2]={0,1,0,-1,1,0,-1,0};
typedef long long ll;
const ll inFF=9223372036854775807;
typedef unsigned long long ull;
using namespace std;
const int maxn=1e4+5;
int c[maxn],vis[maxn];
int sum=0,minn=inff;
struct node
{
    int val,id;
}a[maxn];
bool cmp(node s,node e)
{
    return s.val<e.val;
}
int n;
int dfs(int x)
{
    vis[x]=1;
    int cnt=1,val=a[x].val;
    while(!vis[a[x].id]) //a[x].id就是之前的位置，如果被找过，证明这是一个循环节的结束
    {
        x=a[x].id;
        vis[x]=1;
        val=min(val,a[x].val);
        cnt++;
    }
    int c1=(cnt-2)*val;
    int c2=(cnt+1)*minn+val;
    return min(c1,c2);
}
int main()
{
    cin>>n;
    sum=0,minn=inff;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i].val);
        a[i].id=i;
        c[i]=i;
        sum+=a[i].val;
        minn=min(minn,a[i].val);
    }
    sort(a+1,a+1+n,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!vis[i]) sum+=dfs(i);
    cout<<sum<<endl;
}