12、离散数学基础：集合、逻辑与组合的深度解析

离散数学基础：集合、逻辑与组合的深度解析

1. 集合论基础

集合论中有两个重要的定律，分别是分配律和德摩根定律。
- 分配律 ：集合(A)与集合(B)和(C)交集的并集，等同于集合(A)和(B)的并集与集合(A)和(C)的并集的交集；集合(A)与集合(B)和(C)并集的交集，等同于集合(A)和(B)的交集与集合(A)和(C)的交集的并集。用符号表示如下：
- ((a) A\cup (B\cap C) = (A\cup B)\cap (A\cup C))
- ((b) A\cap (B\cup C) = (A\cap B)\cup (A\cap C))
- 德摩根定律 ：集合(A)和集合(B)交集的补集，是集合(A)的补集和集合(B)的补集的并集；集合(A)和集合(B)并集的补集，是集合(A)的补集和集合(B)的补集的交集。用符号表示如下：
- ((a) (A\cap B)^c = A^c\cup B^c)
- ((b) (A\cup B)^c = A^c\cap B^c)

这两个定律是集合论的基本元素，在后续的学习中非常重要。

2. 逻辑基础

逻辑在数学、科学和哲学中都是重要的主题。在离散数学里，逻辑是用于确定给定陈述真假的明确规则集。在深入学习之前，需要了解一些基本术语：
- 公理 ：公理是被假定为真的事物，是推理的起点。例如，任何只能被自身和(1)整除的整数被认为是质数，这就是一个公理。
- 陈述 ：陈述是表明某事物为真的简