14、二维不可压缩流体流动问题的研究

二维不可压缩流体流动问题的研究

1. 问题描述

在二维区域 $\Omega$ 中，不可压缩流体的流动由运动方程和不可压缩条件描述。
- 运动方程：$u′(t) −\eta \Delta u(t) + (u(t) · ∇)u(t) + ∇p(t) = f (t)$，在 $\Omega × (t_0, ∞)$ 内成立。
- 不可压缩条件：$div u(t) = 0$，在 $\Omega × (t_0, ∞)$ 内成立。

其中，未知量为速度 $u : \Omega × (t_0, ∞) → R^2$ 和压力 $p : \Omega × (t_0, ∞) → R$，$\eta > 0$ 是粘性系数，$f : \Omega × (t_0, ∞) → R^2$ 是体积质量力密度。

为了定义流动区域 $\Omega$，先定义无限通道 $\Omega_{\infty} = {x = (x_1, x_2) \in R^2 | x_2 \in (0, h(x_1)) }$，其中 $h : R → R$ 是正函数，光滑且关于 $x_1$ 是 $L$ 周期的。然后 $\Omega = {x = (x_1, x_2) \in R^2 | x_1 \in (0, L), x_2 \in (0, h(x_1)) }$，其边界 $\partial\Omega = \Gamma_D \cup \Gamma_C \cup \Gamma_L$，其中：
- $\Gamma_D = {(x_1, h(x_1)) | x_1 \in (0, L)}$ 为顶部边界。
- $\Gamma_C = (0, L) × {0}$ 为底部边界。
- $\Gamma_L = {0,