时间复杂度与空间复杂度

如何衡量一个算法的好坏？

即算法的效率问题，分为两种：一种是时间效率（被称为时间复杂度），一种是空间效率（空间复杂度）。时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间。现如今，计算机行业不断发展，我们已经不需要再去特别关注一个算法的空间复杂度。

时间复杂度

1、定义：算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
2、O的渐进表示法
计算一下Func基本操作执行了多少次？

Func执行的基本操作次数：F(N)=N^2+2*N+10
实际中我们在计算时间复杂度时，并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数即可，这就用到了我们所说的O的渐进表示法。

推导大O阶方法：

• 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
• 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
• 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

Func的大O阶：O(N^2)

虽然算法的时间复杂度存在最好、平均及最坏三中情况，但我们通常关注的是算法的最坏运行情况，因为一旦达到了最坏情况，程序就会崩溃，我们应该尽量去避免这样的情况出现。

空间复杂度

空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。计算方法跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

斐波那契数列的空间复杂度

1、循环实现斐波那契

long long* Fibonacci(size_t N) {
 if (N == 0) {
  return NULL;
 }
 long long* fibArray = new long long[N + 1];
 fibArray[0] = 0;
 fibArray[1] = 1;
 for (int i = 2; i <= N; ++i) {
  fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
 }
 return fibArray;
}

在该程序中，动态开辟了N个空间，所以空间复杂度为O(N)。

2、递归实现斐波那契

long long Fibonacci(size_t N) {
 if (N < 3) {
  return 1;
 }
 return Fibonacci(N - 1) + Fibonacci(N - 2);
}

空间复杂度为：O(N)
3、伪递归实现斐波那契

long long Fibonacci(size_t N,long long first,long long second) {
 if (N == 1||N==2) {
  return second;
 }
 if (N == 3) {
  return first + second;
 }
 if (N > 3) {
  return Fibonacci(N - 1, second, first + second);
 }
}

与递归类似，空间复杂度=单次递归中开辟的空间数*递归深度
伪递归实现斐波那契的空间复杂度为：O(N)
但如果对其进行了优化，空间复杂度会发生改变。假设该程序共开辟了N个栈帧，因为执行过程中递归返回的数并没有做其它的运算，因此会被优化为在一个栈帧中修改数据，最终也就只需要一个栈帧即可，此时空间复杂度将变为：O(1)。