求解Ax=b：可解性和解的结构

对于Ax=b，我们都已经知道如何用消元法去求它的解，假设现有系数矩阵A和常量项b，则方程求解过程为

前面我们已经讨论过b需要满足什么样的条件才能使方程有解？即当b属于A的列空间C(A)时方程是可解的（solvability），除了用列空间的思想，这里还可用另一种方式描述方程的可解性：如果A的某行由于消元变成了0行，即全是0，那么对应b中的值运算后也应该得到0，如果不是0，则这样的b是肯定无法用A的各列线性组合的，即方程无解，比如说上面的例子中，b3-b2-b1必须等于0，否则方程无解，这种描述与列空间相比不太直观，但是这两种描述都是等价的，都是描述了什么样的b才能使方程有解。

对于Ax=b，我们现在已经知道它的解为特解（particular solution）加上零空间中的解（special solution），即Xcomplete=Xparticular + Xnull space，将特解Xparticular简记为Xp，特殊解Xnullspace简记为Xn，由于A*Xp=b，A*Xn=0，将两者相加，自然而然就有A(Xp+Xn)=b。

现在我们通过矩阵的秩（rank）来考虑Ax=b的可解性（solvability）。假设m*n的矩阵A秩为r，目前我们定义的秩为A的主元个数，我们知道r必须满足r<=m，且r<=n，接下来我们就讨论A为列满秩（full column rank）、行满秩（full row rank）、满秩（full rank）及非满秩时解的情况。

对于列满秩（full columnrank），即r=n<m，它意味着每一列均有主元，共有n个主元变量（pivot variables），0个自由变量（free variables），r=n时没有自由变量，我们想象一下整个消元过程，可以用下面的图1帮助理解，红框圈出的是主元，到最后一个主元时，最后一行会被消成全0，此时如果右侧的b经过消元后不等于0，那么方程就是无解的，但如果左侧系数阵全0行对应的右侧向量b也为0，那么方程就存在唯一解（unique solution）。也就是说，对于列满秩矩阵，其要么有0个解，要么有1个解。

                                    

              图1                                                                        图2

对于行满秩（fullrow rank），即r=m<n，它意味着每一行均有主元，共有m个主元变量，n-r个自由变量，还是想象一下整个消元过程，可用上面的图2帮助理解，消元时下面不会再出现零行，此时对任意b，Ax=b都会有解，且会有无穷多个解，因为自由变量可任取，因此行满秩情况总会有解。

对于满秩，即r=m=n，这个我们容易理解其有唯一解。

所以总结一下：

当r=n<m时，可能有0个解或1个解，这取决于b的取值。

当r=m<n时，解总是存在的，因为化简后下面没有零行，因此它有无穷多个解。

当r=m=n时，方程组有唯一解。

当r<m 且r<n时，这种情况要么无解，因为某些b分量可能不符合0=0，要么有无穷多解，因为存在自由变量。

总之矩阵的秩决定了方程组解的数目。