对于连续时间傅里叶变换：
∫
−
∞
∞
x
(
t
)
e
−
j
ω
t
d
t
(1)
\int_{-\infty}^{\infty } x(t)e^{-j\omega t} dt \tag 1
∫−∞∞x(t)e−jωtdt(1)
傅里叶变换要求时域信号绝对可积，即有：
∫
−
∞
∞
∣
x
(
t
)
∣
d
t
<
∞
(2)
\int_{-\infty }^{\infty } \left| x(t) \right| dt<\infty \tag 2
∫−∞∞∣x(t)∣dt<∞(2)
如果不满足 （2）式，那么给
x
(
t
)
x(t)
x(t)乘上一个指数函数
e
σ
t
e^{\sigma t}
eσt,
σ
\sigma
σ 为任意的实数,则对于新的函数
x
(
t
)
e
σ
t
x(t)e^{\sigma t}
x(t)eσt 可以满足
∫
−
∞
∞
∣
x
(
t
)
e
σ
t
∣
d
t
<
∞
(3)
\int_{-\infty }^{\infty } \left| x(t)e^{\sigma t} \right| dt<\infty \tag 3
∫−∞∞∣∣x(t)eσt∣∣dt<∞(3)
（3）式的傅里叶变换就是
∫
−
∞
∞
x
(
t
)
e
−
σ
t
e
−
j
ω
t
d
t
=
∫
−
∞
∞
x
(
t
)
e
−
(
σ
+
j
ω
)
t
(4)
\int_{-\infty }^{\infty } x(t)e^{-\sigma t} e^{-j\omega t} dt = \int_{-\infty }^{\infty } x(t)e^{-(\sigma +j\omega )t} \tag 4
∫−∞∞x(t)e−σte−jωtdt=∫−∞∞x(t)e−(σ+jω)t(4)
这个
σ
+
j
ω
\sigma + j\omega
σ+jω 是一个复数。
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