Day4 上午 数论

写这点东西就用了两个小时，数论真的……

零零碎碎的知识点：

同余运算的性质
模运算
逆元（数论倒数）
1.（a/b）mod p≠（(a mod p) / (b mod p)）mod p
2. gcd(a,b)=gcd(a-b,b)=gcd(a%b,b)=……
2. 裴蜀定理 ：当且仅当m是gcd(a,b)的倍数时,方程ax+by=m有整数解
3. 逆元（数论倒数）：a/b=a*f(b)，f(x)有这样的性质：x*f(x) ≡1 （mod p）

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1.欧几里得算法

    这个就不说了

2.扩展欧几里得算法 //不是很懂

    用于求解ax+by=m
    由裴蜀定理，有：                                   //虽然这里不是很懂
      当方程有整数解时，m是gcd(a,b)的倍数  
      ∴可以写成ax+by=gcd(a,b)
    目标：求解ax+by=gcd(a,b)
    由gcd(a,b)==gcd(b,a%b)
    可知有：
      bx+(a%b)y=gcd(a,b);
    一直传递下去，直到：
      gcd(a,b) * x + 0 * y = gcd(a,b);
    可得到现方程的一组解
      x=1,y=0
    而a%b==a-floor(a/b)*b
    ∴bx1+(a-floor(a/b)*b)y1=gcd(a,b)                              ？？？
    展开，合并同类项，有
    ay1+b(x1-floor(a/b)y1)=gcd(a,b)                                 
    这里，可以把y1看成x，把有公因数b的多项式看成y ？？？

    写了一半突然不会了。。。

扩欧

3.费马小定理（也可以看百度百科的证明）

引理①：
当gcd(a,p)=1，即a,p互质且a*b≡a*c （mod p）时              //写给我自己看的：看笔记本上同余运算的性质
可以得到b≡c (mod p)
       a*(b-c)≡0 （mod p）
引理②：
∵1*2*……*(p-1)≡(1*a)*(2*a)*……*[(p-1)*a] (mod p)     

  化简，得(p-1)!≡(p-1)!*[a^(p-1)] (mod p)
∵p是质数
∴gcd((p-1)!,p)==1，即互质
∴由引理①（好像不能用同余运算的性质，不知道对非整数适用与否，数论真的迷）
  有
  a^(p-1)≡1 (mod p)

费马小定理：假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p）
∴a*a^(p-2)≡1（mod p）
所以a在mod p域下的逆元为a^(p-2)，快速幂求解即可