不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

说明：m 和 n 的值均不超过 100。

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

解题思路：动态规划问题，可以通过画图来分析：

            0 0 0 
            0 0 0 
=>        0 1 1
            1 2 3
                    
            0 0 0 0 0 0 0 
            0 0 0 0 0 0 0 
            0 0 0 0 0 0 0 
=>        0 1 0 0 0 0 0 
            1 0 0 0 0 0 0 
            0 0 0 0 0 0 0
=>        0 1 1 1  1  1  1 
            1 2 3 4  5  6  7 
            1 3 6 10 15 21 28 

每一个点的路径数，是左边和上边的路径数之和。

注意：需要考虑到一种特殊情况，如果图只有一格，起点和终点在同一个位置，那么路径数恒为1

    public static int uniquePaths(int m, int n) {
    	/* 动态规划类的题目：
    	 * 画图观察：
			0 0 0 
			0 0 0 
			
		=>	0 1 1
			1 2 3
					
			0 0 0 0 0 0 0 
			0 0 0 0 0 0 0 
			0 0 0 0 0 0 0 
			
		=>	0 1 0 0 0 0 0 
			1 0 0 0 0 0 0 
			0 0 0 0 0 0 0
			
		=>	0 1 1 1  1  1  1 
			1 2 3 4  5  6  7 
			1 3 6 10 15 21 28  
    	 * */
    	int[][] a = new int[n][m];
    	a[0][0] = 0;
    	if(n==m && n==1){
    		return 1;//特殊情况：如果起点和重点重合，那么路径数恒为1
    	}
    	//横行第一行，和竖列第一列，都只有一种方法能到，也就是向右 ->  向右 -> 向右，或者向下 -> 向下 -> 向下，所以数值肯定为1
    	for(int i=1;i<m;i++){
    		a[0][i] = 1;
    	}
    	for(int i=1;i<n;i++){
    		a[i][0] = 1;
    	}

    	for(int i=1;i<n;i++){//二维数组a的行数是n
        	for(int j=1;j<m;j++){//二维数组a的列数是m
        		//其他行列的数值，为上面加左边
        		System.out.println("i="+i+",j="+j);
        		a[i][j] = a[i-1][j] + a[i][j-1];
        	}
    	}

    	//输出二维数组
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                System.out.print(a[i][j] + " ");
            }
            // 换行
            System.out.println();
        }
    	return a[n-1][m-1];
    }