部分可观察马尔可夫决策过程

POMDP 是什么?

POMDP 全称是部分可观察马尔可夫决策过程(Partially Observable Markov Decision Process),它是一种用于在不确定环境下进行决策的数学框架。POMDP 是**马尔可夫决策过程(MDP)**的扩展,主要用于处理系统状态无法完全观察的情况。以下是对 POMDP 的详细解释:


1. POMDP 的基本概念

POMDP 是一种描述决策问题的模型,在这种问题中,决策者(通常称为智能体)无法直接知道系统的真实状态,而是通过观察来推断状态。它可以用一个六元组

(S,A,T,R,Ω,O) (S, A, T, R, \Omega, O) (S,A,T,R,Ω,O)

来定义:

  • (S)(状态空间):系统中所有可能的状态集合。

  • (A)(动作空间):智能体可以采取的所有动作集合。

  • (T)(状态转移函数):描述在状态 (s) 采取动作 (a) 后转移到状态 (s’) 的概率,即

    P(s′∣s,a) P(s' \mid s, a)P(ss,a)

  • ®(奖励函数):在状态 (s) 采取动作 (a) 时获得的即时奖励,即 (R(s, a))。

  • Ω\OmegaΩ

    (观察空间)

    :智能体可能接收到的所有观察集合。

  • (O)(观察函数):描述在采取动作 (a) 后到达状态 (s’) 并接收到观察 (o) 的概率,即

P(o∣s′,a)P(o \mid s', a)P(os,a)

与 MDP 不同,在 POMDP 中,智能体不能直接看到当前状态 (s),而是接收到一个观察 (o)。这个观察只提供了关于真实状态的部分信息,因此智能体需要根据这些不完整的线索来做出决策。


2. 信念状态(Belief State)

由于状态不可直接观察,POMDP 引入了信念状态(belief state)的概念。信念状态 (b) 是一个概率分布,表示智能体对系统当前状态的估计。例如,(b(s)) 表示智能体认为系统处于状态 (s) 的概率。

  • 信念更新:每当智能体采取一个动作 (a) 并接收到一个观察 (o),它会根据先前的信念、动作和观察更新新的信念 (b’)。这个过程通常使用贝叶斯规则计算。

通过信念状态,智能体能够在不完全信息下进行推理和决策。


3. 决策过程

在 POMDP 中,智能体的策略(policy)是基于信念状态的映射,即从信念 (b) 到动作 (a) 的函数

π(b)=a \pi(b) = a π(b)=a

。目标是找到一个最优策略,使得长期累积的期望奖励最大化。奖励通常会考虑未来的折扣,即:

V(b)=E[∑t=0∞γtR(st,at)∣b0] V(b) = \mathbb{E} \left[ \sum_{t=0}^\infty \gamma^t R(s_t, a_t) \mid b_0 \right] V(b)=E[t=0γtR(st,at)b0]

其中

γ \gamma γ

是折扣因子(0 ≤ γ\gammaγ < 1),b0b_0b0是初始信念。


4. POMDP 与 MDP 的区别

  • 状态可观察性

    • MDP:状态完全可观察,智能体知道当前的确切状态。
    • POMDP:状态部分可观察,智能体只能通过观察推测状态。
  • 策略依赖

    • MDP:策略基于状态

    π(s) \pi(s)π(s)

    • POMDP:策略基于信念状态

      π(b)\pi(b)π(b)

  • 复杂性

    • MDP:计算相对简单。
    • POMDP:由于信念状态是连续的,求解更加复杂。

5. POMDP 的应用

POMDP 在许多需要处理不确定性和不完全信息的领域中有广泛应用,例如:

  • 机器人导航:机器人在未知环境中移动,传感器数据无法完全揭示环境状态。
  • 医疗决策:医生根据症状和测试结果(不完全信息)制定治疗方案。
  • 自动驾驶:车辆在复杂交通环境中根据不完美的感知数据决策。
  • 金融投资:投资者在市场信息不完整时优化资产配置。

6. 一个简单例子:老虎问题

想象一个场景:有两扇门,一扇门后有老虎(惩罚 -100),另一扇门后有宝藏(奖励 +10)。你无法直接知道老虎的位置,但可以选择“听”来获取线索(代价 -1)。每次“听”时,你会听到声音,但声音可能不准确(例如,50% 概率正确)。这是一个典型的 POMDP 问题:

  • 状态:{老虎在左边, 老虎在右边}
  • 动作:{听, 开左门, 开右门}
  • 观察:{听到左边, 听到右边}

你需要根据观察更新信念,然后决定是继续听(收集更多信息)还是开门(冒险获取奖励或惩罚)。


7. 总结

POMDP 是一种强大的工具,用于解决状态不完全可观察的决策问题。它通过信念状态来处理不确定性,并基于此制定策略以最大化长期奖励。

部分观察马尔可夫决策过程(Partially Observable Markov Decision Process,POMDP)是一种扩展了马尔可夫决策过程(Markov Decision Process,MDP)的概念。在POMDP中,与MDP不同的是,智能体在每个决策点上面临的信息是不完全的,也就是说,智能体无法直接观察到系统的完整状态,只能基于观测到的部分信息做出决策。 POMDP在实际问题中具有重要的应用价值。例如,在自动驾驶中,车辆通常只能通过传感器获取到有限的环境信息,如相机、雷达和激光雷达等。在医疗诊断中,医生可能只能通过患者的一些症状和检查结果来做出诊断决策。这些都是典型的部分观察马尔可夫决策过程的应用场景。 在POMDP中,智能体的决策依赖于观测历史和隐藏状态之间的关联。智能体需要根据历史观测和动作的序列来估计隐藏状态的概率分布,然后根据这个概率分布来做出最优的决策。智能体利用贝叶斯滤波等方法来处理不完全的观测信息,从而找到最优的决策策略。 POMDP的求解是一个复杂且困难的问题,因为它需要对所有可能的隐藏状态进行估计和规划。通常使用一些近似算法来解决POMDP问题,如基于采样的方法、基于置信度下界的方法等。 总之,部分观察马尔可夫决策过程提供了解决实际问题中不完全观测信息下的决策问题的理论基础。它在自动驾驶、医疗诊断等领域有着广泛的应用,并且其算法求解方法的改进和优化也是当前研究的热点之一。
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