LOJ #525. 「LibreOJ β Round #4」多项式

LOJ #525. 「LibreOJ β Round #4」多项式

题意

给定一个正整数 $k$，你需要寻找一个系数均为 $0$ 到 $k−1$ 之间的非零多项式 $f(x)$，满足对于任意整数 $x$ 均有 $f(x)\equiv 0 (mod$ $k)$

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题解

我们知道欧拉定理是：若 a 与 n 互质，则 $a^{\phi(n)}≡1(mod$ $n)$

这里我们提出扩展欧拉定理：任意正整数 $x$ ，都有 $n^x\equiv n^{x (mod- \varphi(p))+\varphi(p)}$ $(mod$ $p)$

所以我们可以得到 $n^{x+\varphi(p)} -n^x\equiv 0$ $(mod$ $p)$

我们可用令 $x=\varphi(p)$ 就可以得到一个正确式子

然而题目要求系数不能为负数

所以我们给式子加上一个 $k\cdot n^x$

也就可以得到 $n^{\varphi(p)+\varphi(p)} +(k-1)n^{\varphi(p)}\equiv 0$ $(mod$ $p)$

然后求一个 $phi$ 就可以了

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代码

#include <cstdio>
int k;
int gcd(int x,int y){
    if(!y) return x;
    return gcd(y,x%y);
}
int main(){
    scanf("%d",&k);
    if(k==1){puts("-1");return 0;}
    int phi=1;
    for(int i=2;i<k;i++) if(gcd(i,k)==1) phi++;
    printf("%d\n",phi<<1);
    for(int i=0;i<phi;i++) printf("0 ");
    printf("%d ",k-1);
    for(int i=phi+1;i<(phi<<1);i++) printf("0 ");
    printf("1");
    return 0;
}