【Algorithm】完全背包 巧用公式变形法转化为01背包问题

阅读此篇文章需要掌握01背包的状态转移方程：

f[i][j]：在前i件物品中选取总体积不超过j的物品，所得的最大价值（w[i]表示体积，v[i]表示价值）

f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-w[i]]+v[i])

上面这个方程不做过多解释，01背包问题还是很好理解的。

下面贴出01背包问题的代码以便于和下面要将的完全背包问题对比：

for (i = 1; i <= n; i++) //n为物品个数
{
	for (j = 1; j <= w; j++) //w为背包总容量
	{
		if (j < w[i])
			dp[i][j] = dp[i - 1][j];
		else
			dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
	}
}

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完全背包

我们已经知道完全背包问题与01背包唯一的不同就是每种背包有无限个，任意取。

f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i])       (1 <= k <= w/w[i])

上面就是完全背包问题的初级状态转移方程，不难看出，f[i-1][j]为不取第i个物品，正好对应上式右边的k取0，所以我们把方程改写成：