第四章向量组的线性相关性第四五节线性方程组解的结构/向量空间

本文探讨了线性方程组的解结构，包括齐次与非齐次线性方程组的解集性质，以及向量空间的概念。详细介绍了向量空间的定义，基与维数，向量的线性表示与坐标。适用于线性代数初学者。

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§4.4 向量组及其线性组合
§4.5 向量组的线性相关性

4.4 线性方程组解的结构

设有齐次线性方程组
$\begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=0\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=0\\ \cdots\cdots\\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=0 \end{cases}\tag{1}$
记
$A=\left( \begin{matrix} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{matrix} \right), x=\left( \begin{matrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n} \end{matrix} \right),$
则 $(1)$ 式可写为向量方程
$Ax=0.\tag{2}$
若 $x1=ξ11,x2=ξ21,⋯ ,xn1=ξnx_{1}=\xi_{11},x_{2}=\xi_{21},\cdots,x_{n1}=\xi_{n}$ 为 $(1)$ 的解，则
$x=\xi_{1}= \left( \begin{matrix} \xi_{11}\\ \xi_{21}\\ \vdots\\ \xi_{n1} \end{matrix} \right)$
称为方程组 $(1)$ 的解向量，它也就是向量方程 $(2)$ 的解。

性质

若 $x=ξ1,x=ξ2x=\xi_{1},x=\xi_{2}$ 为 $(2)$ 的解，则 $x=ξ1+ξ2x=\xi_{1}+\xi_{2}$ 也是 $(2)$ 的解。
若 $x=ξ1为x=\xi_{1}为$ (2) $的解，$ k$为实数，则 $\xi _ {1}$ 也是 $(2)$ 的解。
齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次线性方程组的基础解系。

定理

设 $m \times n$ 矩阵 $A$ 的秩 $R (A) = r$ ,则 $n$ 元齐次线性方程组 $A x = 0$ 的解集 $S$ 的秩 $R_{S}=n-r$ .
设有非齐次线性方程组
$\begin{cases} a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\ a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\ \cdots\cdots\\ a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots+a_{mn}x_{n}=b_{m} \end{cases}\tag{3}$
向量方程
$Ax=b.\tag{4}$

性质

若 $x=ξ1,x=ξ2x=\xi_{1},x=\xi_{2}$ 为 $(4)$ 的解，则 $x=ξ1−ξ2x=\xi_{1}-\xi_{2}$ 为其对应的齐次线性方程组解。
若 $x=ηx=\eta$ 为 $(4)$ 的解， $x=ξx=\xi$ 为其对应的齐次线性方程组解，则 $x=η+ξx=\eta+\xi$ 也是 $(4)$ 的解。

4.5 向量空间

  设 $V$ 为 $n$ 维向量的集合，如果集合 $V$ 非空，且集合 $V$ 对于向量的加法和乘法两种运算封闭，那么称集合 $V$ 为向量空间。所谓封闭，若 $a∈V,b∈Va\in V,b\in V$ ,则 $a+b∈Va+b\in V$ , $a∈V,λ∈Ra\in V,\lambda\in R$ ,则 $λa∈V\lambda a\in V$ .
一般的，有向量组 $a1,a2,⋯ ,ama_{1},a_{2},\cdots,a_{m}$ 所生成的向量空间为
$L=\{x=\lambda_{1}a_{1}+\lambda_{2}a_{2}+\cdots+\lambda_{m}a_{m}|\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{m}\in R\}$
  设 $V$ 是向量空间，如果 $r$ 个向量 $a1,a2,⋯ ,ar∈Va_{1},a_{2},\cdots,a_{r}\in V$ ,且满足
1. $a1,a2,⋯ ,ara_{1},a_{2},\cdots,a_{r}$ 线性无关；
2. $V$ 中任一向量都可由 $a1,a2,⋯ ,ara_{1},a_{2},\cdots,a_{r}$ 线性表示，
那么向量组 $a1,a2,⋯ ,ara_{1},a_{2},\cdots,a_{r}$ 称为向量空间 $V$ 的一个基， $r$ 称为向量空间 $V$ 的维数，并称 $V$ 是 $r$ 维向量空间。
  如果在向量空间 $V$ 中取定一个基 $a1,a2,⋯ ,ara_{1},a_{2},\cdots,a_{r}$ ,那么 $V$ 中任一向量 $x$ 可惟一地表示为
$x=\lambda_{1}a_{1}+\lambda_{2}a_{2}+\cdots+\lambda_{r}a_{r},$
数组 $λ1,λ2,⋯ ,λr\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{r}$ 称为向量 $x$ 在基 $a1,a2,⋯ ,ara_{1},a_{2},\cdots,a_{r}$ 中的坐标。