第一章行列式第六节行列式按行(列)展开

最新推荐文章于 2024-01-13 16:56:24 发布

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分类专栏：线性代数文章标签：线性代数

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本文详细讲解了行列式的按行(列)展开法则，介绍了余子式与代数余子式的概念，以及它们在行列式计算中的应用。通过理解行列式的展开原理，读者可以掌握更高效的行列式求解技巧。

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§1.6 行列式按行(列)展开

在 $n$ 阶行列式中，把 $(i, j)$ 元 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列划去后，留下来的 $n - 1$ 阶行列式叫做 $(i, j)$ 元 $a_{ij}$ 的余子式。记作 $M_{ij}$ ；记
$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},$
$A_{ij}$ 叫做 $(i, j)$ 元 $a_{ij}$ 的代数余子式。

引理

一个 $n$ 阶行列式，如果其中第 $i$ 行所有元素除 $(i, j)$ 元 $a_{ij}$ 外都等于零，那么这个行列式等于 $a_{ij}$ 与它的代数余子式的乘积，即
$D=a_{ij}A_{ij}.$

定理

(行列式按行(列)展开法则)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
$a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+ \cdots a_{in}A_{in}\:\: (i = 1,2,\cdots,n),$
或
$a_{1i}A_{1i}+a_{2i}A_{2i}+ \cdots a_{ni}A_{ni}\:\: (i = 1,2,\cdots,n).$

推论

行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
$a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+ \cdots a_{in}A_{jn}\:\: (i\:\: j= 1,2,\cdots,n,\:\: i\neq j)=0,$
或
$a_{1i}A_{1j}+a_{2i}A_{2j}+ \cdots a_{ni}A_{nj}\:\: (i\:\:j = 1,2,\cdots,n,\:\:i\neq j)=0.$

性质

代数余子式的重要性质:
$\sum^{n}_{k=1}{a_{ki}A_{kj}} = D\delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{rcl} D,&&当i=j \\ 0,&&当i\neq j \\ \end{array} \right.$
或
$\sum^{n}_{k=1}{a_{ik}A_{jk}} = D\delta_{ij} = \left\{ \begin{array}{rcl} D,&&当i=j \\ 0,&&当i\neq j \\ \end{array} \right.$
其中
$\delta_{ij} = \left\{\begin{array}{rcl} 1,&&当i=j \\ 0,&&当i\neq j \\ \end{array} \right..$