球桶组合排列

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将球(n个)放到桶(m个)里, 有几种放法的问题.

有以下类型:

球相同, 桶不相同, 不允许出现空桶

模型如下: 将球从左至右排成一排, 将 m-1 个隔断插入 n-1 个空隙中, 将球分成 m 个部分, 从左至右依次放入 m 个桶中.

1. 题目要求的每种放法都对应上述模型唯一一个结果: 显然.

2. 上述模型的每个结果都对应题目中的唯一一种放法: 显然.
C(n-1, m-1)

讨论: 这实际上是方程 n = x1+x2+x3+...+xm 整数解的个数, 其中 x_i > 0.

球相同, 桶不相同, 允许出现空桶

这实际上是方程 n = x1+x2+x3+...+xm 整数解的个数, 其中 x_i >= 0.

方法是考虑方程

n+m = x1' + x2' + x3' + ... + xm', 其中 x_i' > 0 整数解的个数, 然后从每个 x_i' 中减去1.

结论: C(n + m - 1, m - 1)

球不同, 桶不相同, 允许空桶

考虑满足以下条件的序列:

长度为 n, 每个元素的值在 1~m(含) 之间.

对于每个序列, 都能够构造一种球-桶的分类.

数量: m^n

球不同, 桶不相同, 不允许空桶

首先计算允许空桶的情况, 之后排除有1空桶的情况, 再加上有两空桶的情况, ...

m^n - C(m, 1)(m-1)^n - C(m, 2)(m-2)^n - ... ... C(m, m-1)*1^m

（类似问题：把m种不同的物品放到n个位子上（n>=m），每种物品至少出现一次，有几种放法。一个位子上必须放一个物品，每种物品的数量无限。

相当于把n个不同的球放到m个不同的桶内，桶不允许为空）

我想到的是A(n,m)*m^(n-m)，先在每一个桶里放一个球，然后剩下的球再随机放到桶里

这是有错误的，有重复计算

球相同, 桶相同, 允许空桶

整数拆分问题.

B（n,1）+ B(n,2) + ... +Ｂ（ｎ，ｍ）

球相同, 桶相同, 不允许空桶

整数拆分问题.
Ｂ(n,m)