二项分布和Beta分布

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本文通过实例介绍二项分布和Beta分布的含义，并使用pymc对抛硬币进行模拟实验，从而获得Beta分布。

二项分布和Beta分布

In [15]:

%pylab inline
import pylab as pl
import numpy as np
from scipy import stats

Welcome to pylab, a matplotlib-based Python environment [backend: module://IPython.kernel.zmq.pylab.backend_inline].
For more information, type 'help(pylab)'.

二项分布

在概率论和统计学中，二项分布是n个独立的[是/非]试验中成功的次数的离散概率分布，其中每次试验的成功概率为 p 。举两个例子就很容易理解二项分布的含义了：

• 抛一次硬币出现正面的概率是0.5( p )，抛10(n)次硬币，出现k次正面的概率。

• 掷一次骰子出现六点的概率是1/6，投掷6次骰子出现k次六点的概率。

在上面的两个例子中，每次抛硬币或者掷骰子都和上次的结果无关，所以每次实验都是独立的。二项分布是一个离散分布，k的取值范围为从0到n，只有n+1种可能的结果。

scipy.stats.binom为二项分布，下面用它计算抛十次硬币，出现k次正面的概率分布。

In [16]:

n = 10
k = np.arange(n+1)
pcoin = stats.binom.pmf(k, n, 0.5)
pcoin

Out[16]:

array([ 0.00097656,  0.00976563,  0.04394531,  0.1171875 ,  0.20507813,
        0.24609375,  0.20507813,  0.1171875 ,  0.04394531,  0.00976563,
        0.00097656])

In [17]:

pl.stem(k, pcoin, basefmt="k-")
pl.margins(0.1)

下面是投掷6次骰子，出现6点的概率分布。

In [18]:

n = 6
k = np.arange(n+1)
pdice = stats.binom.pmf(k, n, 1.0/6)
pdice

Out[18]:

array([  3.34897977e-01,   4.01877572e-01,   2.00938786e-01,
         5.35836763e-02,   8.03755144e-03,   6.43004115e-04,
         2.14334705e-05])

In [19]:

pl.stem(k, pdice, basefmt="k-")
pl.margins(0.1)

Beta分布

对于硬币或者骰子这样的简单实验，我们事先能很准确地掌握系统成功的概率。然而通常情况下，系统成功的概率是未知的。为了测试系统的成功概率 p ，我们做n次试验，统计成功的次数k，于是很直观地就可以计算出 p=k/n 。然而由于系统成功的概率是未知的，这个公式计算出的 p 只是系统成功概率的最佳估计。也就是说实际上 p 也可能为其它的值，只是为其它的值的概率较小。

例如有某种特殊的硬币，我们事先完全无法确定它出现正面的概率。然后抛10次硬币，出现5次正面，于是我们认为硬币出现正面的概率最可能是0.5。但是即使硬币出现正面的概率为0.4，也会出现抛10次出现5次正面的情况。因此我们并不能完全确定硬币出现正面的概率就是0.5，所以 p 也是一个随机变量，它符合Beta分布。

Beta分布是一个连续分布，由于它描述概率 p 的分布，因此其取值范围为0到1。 Beta分布有 α 和 β 两个参数，其中 α 为成功次数加1， β 为失败次数加1。

连续分布用概率密度函数描述，下面绘制实验10次，成功4次和5次时，系统成功概率 p 的分布情况。可以看出 k=5 时，曲线的峰值在 p=0.5 处，而 k=4 时，曲线的峰值在 p=0.4 处。

In [20]:

n = 10
k = 5
p = np.linspace(0, 1, 100)
pbeta = stats.beta.pdf(p, k+1, n-k+1)
plot(p, pbeta, label="k=5", lw=2)

k = 4
pbeta = stats.beta.pdf(p, k+1, n-k+1)
plot(p, pbeta, label="k=4", lw=2)
xlabel("$p$")
legend(loc="best");

下面绘制 n=10,k=4 和 n=20,k=8 的概率分布。可以看出峰值都在 p=0.4 处，但是 n=20 的山峰更陡峭。也就是说随着实验次数的增加， p 取其它值的可能就越小，对 p 的估计就更有信心，因此山峰也就更陡峭了。

In [30]:

n = 10
k = 4
p = np.linspace(0, 1, 100)
pbeta = stats.beta.pdf(p, k+1, n-k+1)
plot(p, pbeta, label="n=10", lw=2)

n = 20
k = 8
pbeta = stats.beta.pdf(p, k+1, n-k+1)
plot(p, pbeta, label="n=20", lw=2)
xlabel("$p$")
legend(loc="best");

用pymc模拟

假设我们的知识库中没有Beta分布，如何通过模拟实验找出 p 的概率分布呢？pymc是一个用于统计估计的库，它可以通过 先验概率和 观测值 模拟出 后验概率 的分布。下面先解释一下这两个概率：

• 先验概率：在贝叶斯统计中，某一不确定量p的先验概率分布是在考虑"观测数据"前，能表达p不确定性的概率分布。

• 后验概率：在考虑相关证据或数据后所得到的不确定量p的概率分布。

拿前面抛硬币的实验来说，如果在做实验之前能确信硬币出现正面的概率大概在0.5附近的话，那么它的先验概率就是一个以0.5为中心的山峰波形。而如果是某种特殊的硬币，我们对其出现正面的概率完全不了解，那么它的先验概率就是一个从0到1的平均分布。为了估计这个特殊硬币出现正面的概率，我们做了20次实验，其中出现了8次正面。通过这个实验，硬币出现正面的可能性的后验概率就如上图中的绿色曲线所示。

pymc库可以通过先验概率和观测值模拟出后验概率的分布，这对于一些复杂的系统的估计是很有用的。下面我们看看如何用pymc来对这个特殊硬币出现正面的可能性进行估计：

• 首先pcoin是这个特殊硬币出现正面的概率，由于我们没有任何先验知识，因此它的先验概率是一个从0到1的平均分布(Uniform)。

• 假设我们做了20次实验，其中8次为正面。根据前面的介绍可知，出现正面的次数符合二项分布(Binomial)，并且这个二项分布的概率 p 为pcoin。这个通过value参数指定了实验的结果。因此experiment虽然是一个二项分布，但是它已经不能取其它值了。

In [32]:

import pymc
pcoin = pymc.Uniform("pcoin", 0, 1)
experiment = pymc.Binomial("experiment", 20, pcoin, value=8)

接下来通过MCMC对象模拟pcoin的后验概率。MCMC是Markov chain Monte Carlo(马尔科夫蒙特卡洛)的缩写，它是一种用马尔可夫链从随机分布取样的算法。通过调用MCMC对象的sample()，可以对pcoin的后验概率分布进行取样。这里30000为取样次数，5000表示不保存头5000次取样值。这时因为MCMC算法通常有一个收敛过程，我们希望只保留收敛之后的取样值。

In [33]:

mc = pymc.MCMC([pcoin])
mc.sample(30000, 5000)

 
[****************100%******************]  30000 of 30000 complete

通过MCMC对象trace()可以获得某个不确定量的取样值。下面的程序获得pcoin的25000次取样值，并用hist()显示其分布情况。由结果可知pcoin的分布与前面介绍的Beta分布一致。

In [31]:

pcoin_trace = mc.trace("pcoin")[:]
hist(pcoin_trace, normed=True, bins=30);
plot(p, pbeta, "r", label="n=20", lw=2)

Out[31]:

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x5182190>]

In [34]:

pcoin_trace.shape

Out[34]:

(25000,)