Beta分布，二项分布，Dirichlet分布，多项式分布新解

相国大人

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原创最新推荐文章于 2026-05-20 14:22:30 发布 3.2k 阅读 AI 写同款· GEO 优化 ›

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阅读说明
beta分布与二项分布
共轭先验
beta分布与Dirichlet分布
Dirichlet分布与多项式分布

0. 阅读说明

这四个分布是LDA的基础，很多人废了好久，才把公式推导搞明白。结果发现，这几个的实际意义搞不懂。他们之间的关系也理解不深刻。为此，特做此博文。

此博文并无半点抄袭，完全原创，因此如果你要转载，请注明出处（也好让俺风光风光）

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1. 你有了一种恍然大悟的快感
2. 你发现之前读过的资料都是千篇一律抄来抄去却并没有get到痛点。而这篇博文却可以举重若轻，足够深刻

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1. beta分布与二项分布

假设一枚硬币正面朝上的概率为 $x$ ，则反面朝上的概率为 $1-x$ ，现在我投掷100次，30次朝上，于是我会认为， $x=0.3$ . 现在我再做一组试验，投掷100次29次朝上，这一次我认为 $x_2=0.29$ ，这样，我不断地一组一组做。我就会得到很多 $x$ 。

$x$ Group1 Group2 Group3 …… $x$	0.3	0.31	0.28	……

如图所示：
这里写图片描述
横轴为x的取值。纵轴为x取得某一值出现的次数。这条曲线是一条有零点0，1的曲线，因此根据高中的知识，我们就可以设这条曲线为：

f (x) = x α - 1 (1 - x) β - 1

$f(x)=x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}$

有的宝宝不知道高中知识里哪里有这么个东西。还记得有句话叫做“奇过偶不过”吗？只不过上面这个图当中，我们只关心0-1区间并不关心外面的东西。因此你随意写都可以的。比如，如果一个多项式曲线零点为 $x_0,x_1,x_2$ 那么这个曲线可以写成 $(x-x_0)^{\alpha_0}(x-x_1)^{\alpha_1}(x-x_2)^{\alpha_2}$ .
同样的，上面那个图可以写成 $(x-0)^{\alpha_0}(x-1)^{\alpha_1}$ .于是我说我写成这样也可以：
$(x - 0) α 0 (1 - x) α 1$ $(x-0)^{\alpha_0}(1-x)^{\alpha_1}$ 你同意不？
你说你不同意，这样曲线不反过来了吗？
我说没问题：
在0-1之间，我写成 $(x-0)^\alpha(x-1)^4$ 和 $(x-0)^\alpha(1-x)^4$ 一个意思。
在0-1之间，我写成 $(x-0)^\alpha(x-1)^3$ ，图像反过来了，所以我最好应该写成 $(x-0)^\alpha(1-x)^3$ 。
你说好玩不好玩？
你要是还没明白是怎么回事，那你还是别继续看了。顺道也放弃计算机行业吧。（微笑）

但是，这条曲线还不能说是概率密度函数，因为它在定义域上的积分为必为1.为了保证为1我们可以令曲线与x轴围成的面积为 $B(\alpha,\beta)$ ，这样我们可以构造一个概率密度函数：

$f (x) = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 1 B ( α , β ) x α - 1 (1 - x) β - 1, 0, x \in [0, 1] o t h e r s (0.1)$ $f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}, & x\in[0,1] \\ 0, & others \end{matrix}\right. \tag{0.1}$
$B (α, β) = \int 10 x α - 1 (1 - x) β - 1 d x = Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α + β ) (0.2)$ $B(\alpha,\beta)=\int_0^1x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\tag{0.2}$ 式子 $(0.2)$ 即为曲线围城的面积。至于说这个等式右边怎么来的？请参见之前的博文《深入浅出LDA(2)》

据说有的宝宝连 $\Gamma$ 函数都不知道，看这里《深入浅出LDA(1)》

我们不妨再来看看二项分布的概率密度公式：

$f (k; n, p) = (n k) p k (1 - p) n - k (0.3)$ $f(k;n,p)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\tag{0.3}$
为了让你看懂，我们把这个式子按照 $(0.2)$ 的样子改写一下：
$f (α; β, x) = (α + β α) x α - 1 (1 - x) β - 1 (0.4)$ $f(\alpha;\beta,x)={\alpha+\beta \choose \alpha}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\tag{0.4}$
这个改写与之前的并不是完全等价，不过没关系，无非就差几个系数而已。更主要的，我们发现前面的组合操作只不过就是一个系数，仅此而已。因此式子 $(0.4)$ 本质上就是：
$f (α; β, x) = 1 B ( α , β ) x α - 1 (1 - x) β - 1 (0.5)$ $f(\alpha;\beta,x)=\frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\tag{0.5}$
与(0.1)不同的是，这里 $\alpha,\beta$ 是我们感兴趣的，也就是变量。根据二项分布的意义，这（当然，并不是绝对的次数，因为我们之前说了，无非就差几个常数而已）。而到了 $\beta$ 分布里，我们感兴趣的不是朝上朝下的次数了，而是给定了这些次数，让你估计朝上或者朝下的概率。

所以，聪明的你也发现了， $\beta$ 分布与二项分布的关系是：
二项分布是给定事件概率，让你估计出现的次数。
$\beta$ 分布是给定了出现的次数，让你估计给定事件的概率。

实际上，这背后的原理还有一个更加深层次的解释:那就是 $\beta$ 分布是二项分布的共轭先验。

2.共轭先验

为了解释这个概念，我们还是顺着之前的线索，慢慢来：
我们刚刚说过：

二项分布是给定事件概率，让你估计出现的次数。
$\beta$ 分布是给定了出现的次数，让你估计给定事件的概率。

好了，现在我做了n组实验了，我想知道进行到此时这个概率应该估计为多少比较好呢？
为此，我们使用上面的第2条，也就是 $\beta$ 分布。
这样一来我们就得到了当前最新的概率估计。但是我们还是要继续做实验的，我们开始做第 $n+1$ 组实验了哦。
现在我们想知道的是，刚才的最新的概率估计到底靠不靠谱呢？我们于是在假定这个概率正确的情况下，来猜一猜我这第 $n+1$ 组实验里，正面朝上应该多少次比较有可能呢？
为此，我们使用上面的第1条，也就是二项分布。
这样一来我们就得到了当前最新的概率估计。但是我们还是要继续做实验的，我们开始做第 $n+2$ 组实验了哦……

这是一个无穷尽的过程，随着你实验的进行，我们最终可以让概率 $x$ 的估计越来越靠谱。

这个迭代的过程，我们刚才的表述中已经无比清晰地向我们展现了如下的关系：

$β distribution \propto binomial distribution \times β distribution (0.6)$ $\beta \text{ distribution}\propto \text{binomial distribution}\times\beta \text{ distribution}\tag{0.6}$
上面这个式子两个 $\beta$ 分布无非就是参数不同而已，但都是 $\beta$ 分布。
在贝叶斯理论中，我们把等式左侧的部分叫做后验概率，等式右侧第一项叫做似然，第二项叫做先验概率。贝叶斯理论认为：后验概率 $\propto$ 似然 $\times$ 先验概率。
而在我们的这个场景中，我们发现，这里的后验概率与先验概率遵循同样的分布律。我们把这种情况叫做共轭。即:
此时的先验概率和后验概率互为共轭。
此时的先验概率叫做似然的共轭先验。

以后，只要我们说“A分布是B分布的共轭先验”，你就应该立即明白：A分布 $\propto$ B分布 $\times$ A分布。

接下来，是时候亮出 $beta$ 分布与Dirichlet分布了！

3. beta分布与Dirichlet分布

首先让我们来复习一下之前说过的话：
$\alpha ，\beta$ 两个变量分别表达正面朝上的次数和反面朝上的次数
如果你忘记这个为什么了，点击这里跳转到刚才对应的部分

$\beta$ 分布的概率密度为：

$f (x) = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 1 B ( α , β ) x α - 1 (1 - x) β - 1, 0, x \in [0, 1] o t h e r s (1.1)$ $f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{B(\alpha,\beta)}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}, & x\in[0,1] \\ 0, & others \end{matrix}\right. \tag{1.1}$
其中:
$B (α, β) = \int 10 x α - 1 (1 - x) β - 1 d x = Γ ( α ) Γ ( β ) Γ ( α + β ) (1.2)$ $B(\alpha,\beta)=\int_0^1x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}dx=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}\tag{1.2}$

Dirichlet分布：

$f (p ⃗ | α ⃗) = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ 1 Δ ( α ⃗ ) Π K k = 1 p α k - 1 k, 0, p k \in [0, 1] o t h e r s (1.3)$ $f\left(\vec{p} | \vec{ \alpha}\right)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\Delta(\vec{\alpha})}\Pi_{k=1}^Kp_k^{\alpha_k-1}, & p_k\in[0,1] \\ 0, & others \end{matrix}\right. \tag{1.3}$
其中:
$Δ (α ⃗) = Π K k = 1 Γ ( α k ) Γ ( \sum K k = 1 α k ) (1.4)$ $\Delta(\vec{\alpha})=\frac{\Pi_{k=1}^K\Gamma(\alpha_k)}{\Gamma\left(\sum_{k=1}^K\alpha_k\right)}\tag{1.4}$

很多同学连式子 $(1.3,1.4)$ 都看不懂，这就让人尴尬了。

我们如果把 $\beta$ 分布的密度公式按照Dirichlet的形式改写一下可以变成如下的几种写法：
令 $x_1=x, x_2=1-x,\alpha_1=\alpha,\alpha_2=\beta$ 显然有 $x_1+x_2=1$ ，

$f (x 1, x 2 | α 1, α 2) = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ Γ ( α 1 ) Γ ( α 2 ) Γ ( α 1 + α 2 ) x α - 1 1 x α 2 - 1 2, 0, x \in [0, 1] o t h e r s (1.5)$ $f(x_1,x_2|\alpha_1,\alpha_2)=\left\{\begin{matrix} \frac{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)}{\Gamma(\alpha_1+\alpha_2)}x_1^{\alpha -1}x_2^{\alpha_2 -1}, & x\in[0,1] \\ 0, & others \end{matrix}\right. \tag{1.5}$
并且满足： $x_1+x_2=1$
这是一个二维的联合概率分布。同时也是Dirichlet在 $K=2$ 时候的情景。
如果我们只考察其中一个变量，那么就可以写成类似于 $(1.1)$ 原来的方程：
$f (x 1 | α 1, α 2) = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ Γ ( α 1 ) Γ ( α 2 ) Γ ( α 1 + α 2 ) x α - 1 1 (1 - x 1) α 2 - 1, 0, x \in [0, 1] o t h e r s (1.6)$ $f(x_1|\alpha_1,\alpha_2)=\left\{\begin{matrix} \frac{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)}{\Gamma(\alpha_1+\alpha_2)}x_1^{\alpha -1}(1-x_1)^{\alpha_2 -1}, & x\in[0,1] \\ 0, & others \end{matrix}\right. \tag{1.6}$
或者：
$f (x 2 | α 1, α 2) = ⎧ ⎩ ⎨ ⎪ ⎪ Γ ( α 1 ) Γ ( α 2 ) Γ ( α 1 + α 2 ) x α - 1 1 (1 - x 2) α 2 - 1, 0, x \in [0, 1] o t h e r s (1.7)$ $f(x_2|\alpha_1,\alpha_2)=\left\{\begin{matrix} \frac{\Gamma(\alpha_1)\Gamma(\alpha_2)}{\Gamma(\alpha_1+\alpha_2)}x_1^{\alpha -1}(1-x_2)^{\alpha_2 -1}, & x\in[0,1] \\ 0, & others \end{matrix}\right. \tag{1.7}$
式子 $(1.6,1.7)$ 是单变量，或者说是一维的概率分布,也就是我们原来的 $\beta$ 分布。这两个图像是互补类似的，因此接下来我们只表示这两个中的一个。

式子 $(1.6,1.5)$ 可以分别表达为下面的示意图：

这个图表达的是公式 $(1.6)$ ，也就是我们说的 $\beta$ 分布。

这个图表达的是公式 $(1.5)$ ，也就是我们说的Dirichlet分布在K取2时候的场景。

你会发现： $\beta$ 分布，可以看作是二维Dirichlet分布在每一个维度上的投影。

那么，如果我们将维度扩充到3维呢？
还是之前投硬币的例子，只是这一次是三个面，不妨叫做骰子。我们每一组试验做了100次，做了无穷多组。这样没组试验都可以得到三个面各自朝上的概率。如下：

$\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)$ Group1 Group2 Group3 ……
$x_1$ 0.3 0.31 0.28 ……
$x_2$ 0.25 0.22 0.27 ……
$x_3$ 0.45 0.47 0.45 ……

事实上，如果我们只看其中一个维度的话，比如，只看 $x_1$ ，那么我们可以把这里的 $x_2+x_3$ 看做公式 $(1.6)$ 的 $(1-x_1)$ .所以，单独看每一个维度，图像为：

与公式 $(1.6)$ 的示意图一样，也是一个 $\beta$ 分布。

而如果我们看 $(x_1,x_2,x_3)$ 整体时，我们看的是这三个维度的联合概率分布。也就是我们说的 $K=3$ 时候的Dirichlet分布。如下图所示：

由于这里面仍然有 $x_1+x_2+x_3=1$ ，而这个东西是三维空间里的一个面（我们把它叫做单纯性），所以有的资料说，Dirichlet分布在K-1维的单纯性中。
我们仍然可以认为： $\beta$ 分布，可以看作是三维Dirichlet分布在每一个维度上的投影（请注意，我说的是每一个维度，不是每一个二维坐标平面）。

好了，讲到这里，其实Dirichlet的物理意义你也差不多清楚了。接下来，我们来说说多项式分布。聪明的你应该也看出来了，按照我们之前发现 $\beta$ 分布与二项分布的方法。你现在似乎自己也能发现Dirichlet分布与多项式分布的关系了。

4. Dirichlet分布与多项式分布

什么是多项式分布？

一个多面体有 $k$ 个面,每个面朝上的概率为 $\vec p=(p_1,p_2,\cdots,p_k)$ ,显然有 $\sum_{i=1}^kp_i=1$ . 现在抛掷这个多面体 $n$ 次，各个面朝上的次数为 $x_1,x_2,\cdots,x_k$ ,显然有 $\sum_{i=1}^kx_i=n$ . 问这件事情发生的概率是多少？

即：求 $p(x_1,x_2,\cdots,x_k|\vec p,n)$

假如我们已经知道了这 $n$ 次结果中，哪些是面1朝上，哪些是面2朝上……，那么这个概率就很简单了: $p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k}$

现在的问题是我们不知道哪些是面1朝上，哪些是面2朝上……所以要做一个组合：

为了解决这个问题，我们首先需要从 $n$ 次试验中，找 $x_1$ 次试验，将这几次试验结果指定为面1朝上。再从剩下的 $n-x_1$ 次试验结果中，找 $x_2$ 次试验，将这几次试验结果指定为面2朝上……

于是:

$p (x 1, x 2, \dots, x k | p ⃗, n) = C x 1 n C x 2 n - x 1 C x 3 n - x 1 - x 2 \dots C x k n - x 1 - x 2 - \dots - x k - 1 p x 1 1 p x 2 2 \dots p x k k = n ! Π k i = 1 x i ! Π k i = 1 p x i i$ $p(x_1,x_2,\cdots,x_k|\vec p,n)=C_n^{x_1}C_{n-x_1}^{x_2}C_{n-x_1-x_2}^{x_3}\cdots C_{n-x_1-x_2-\cdots -x_{k-1}}^{x_k}p_1^{x_1}p_2^{x_2}\cdots p_k^{x_k}\\=\frac{n!}{\Pi_{i=1}^kx_i!}\Pi_{i=1}^k p_i^{x_i}$
这就是多项式分布的来历。

进一步的，二项分布可以认为是二维平面上取得一个点 $\vec x=(x_1,x_2)$ 的概率。多项式分布可以认为是k维空间里，取得向量点 $\vec x=(x_1,x_2,\cdots,x_k)$ 的概率。

看到多项式分布这个式子，你会一惊，这家伙跟Dirichlet公公差不都啊。是的，所谓区别无非就是：Dirichlet的超参数是多项式分布的所求变量。多项式的超参数是Dirichlet所求变量。具体是怎么对应的，相信，看过第1节末尾和第2节的你，应该不在话下。

因此同样的，你会明白：Dirichlet分布是多项式分布的共轭先验。

接下来，我来问一个小问题，看看你脑袋瓜子聪不聪明：
Dirichlet分布中的超参数 $\vec{\alpha}$ 的物理意义是什么？

如果你不知道答案，请见这里

最后，祝大家天天开心（微笑）

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Xiangguo Sun
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