石子归并 51Nod - 1021(区间dp)_51nod1021石子归并-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/sunmaoxiang/article/details/81902834

本文介绍了一种使用区间动态规划解决最小合并代价问题的方法。通过详细的代码示例和算法解释，展示了如何计算将N堆石子按最优顺序合并所需的最小代价。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

N堆石子摆成一条线。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的代价。计算将N堆石子合并成一堆的最小代价。

例如： 1 2 3 4，有不少合并方法
1 2 3 4 => 3 3 4(3) => 6 4(9) => 10(19)
1 2 3 4 => 1 5 4(5) => 1 9(14) => 10(24)
1 2 3 4 => 1 2 7(7) => 3 7(10) => 10(20)

括号里面为总代价可以看出，第一种方法的代价最低，现在给出n堆石子的数量，计算最小合并代价。

思路

区间dp，首先想一下状态转移方程，虽然比较难想（对本菜鸟来说）， dp[i][j]为第i堆石子到第j堆合并的花费
状态转移方程：dp[i][j]=min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k+1][ j ] +sum[j]-sum[i-1])

区间dp模板

//mst(dp,0) 初始化DP数组
for(int i=1;i<=n;i++)
{
    dp[i][i]=初始值
}
for(int len=2;len<=n;len++)  //区间长度
for(int i=1;i<=n;i++)        //枚举起点
{
    int j=i+len-1;           //区间终点
    if(j>n) break;           //越界结束
    for(int k=i;k<j;k++)     //枚举分割点，构造状态转移方程
    {
        dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+w[i][j]);
    }
}

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn=100+10;

int dp[maxn][maxn];
int sum[maxn];

int main()
{
    //freopen("input.txt", "r", stdin);
    int n,len,j,k, i;
    cin >> n;
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
    for(i=1, sum[0]=0;i<=n;i++) {
        cin >> sum[i];
        sum[i]+=sum[i-1];
        dp[i][i]=0;
    }
    for(len=2;len<=n;len++){    // 枚举区间长度
        for(i=1;i<=n;i++){      // 枚举区间起点
            j=len+i-1;
            if(j>n) break;
            for(k=i;k<=j-1;k++){
                dp[i][j]=min(dp[i][j], dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[j]-sum[i-1]);
            }
        }
    }
    cout << dp[1][n] << endl;
    return 0;
}