最佳买卖股票时机含冷冻期--动态规划

给定一个整数数组prices，其中第 prices[i] 表示第 i 天的股票价格 。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）: 卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1:

输入: prices = [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]
示例 2:

输入: prices = [1]
输出: 0

提示：

1 <= prices.length <= 5000
0 <= prices[i] <= 1000

一种常用的方法是将“买入”和“卖出”分开进行考虑：“买入”为负收益，“卖出”为正收益。开始，只有“买入”的权利，只能获得负收益。可以使用动态规划维护在股市中每一天结束后可以获得的“累积最大收益”，并以此进行状态转移。

思路

用 $f[i]$ 表示第i天结束之后的“累积最大收益”（从0开始）。我们最多只能同时买入（持有）一支股票，卖出后有冷冻期的限制，因此有三种不同的状态：

• 目前持有一支股票，对应的“累积最大收益”记为 $f[i][0]$
• 目前不持有任何股票，并且处于冷冻期中，对应的“累积最大收益”记为 $f[i][1]$
• 目前不持有任何股票，并且不处于冷冻期中，对应的“累积最大收益”记为 $f[i][2]$

这里的处于冷冻期指的是在第 i 天结束之后的状态。也就是说：如果第 i 天结束之后处于冷冻期，那么第 i+1 天无法买入股票。

第i 天的状态由第 i-1 天状态转移而来，转移方程为：

$f[i]][0]=max(f[i-1][0],f[i-1][2]-price[i])$

$f[i][1]=f[i-1][0]+price[i]$

$f[i][2]=max(f[i-1][1],f[i-1][2])$

如果一共有 n 天，答案为：

$max(f[n-1][1],f[n-1][2])$

$f[n-1][0]$ 表示最后还持有股票，显然不符合收益最大。

初始条件为：

$$\begin{gathered} f[0][0]=-price[0] \\ f[0][1]=0 \\ f[0][2]=0 \end{gathered}$$

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: list) -> int:
        if not prices:
            return 0

        f = [[-prices[0], 0, 0]] + [[0] * 3 for i in range(len(prices)-1)]
        for i in range(1, len(prices)):
            f[i][0] = max(f[i-1][0], f[i-1][2]-prices[i])
            f[i][1] = f[i-1][0] + prices[i]
            f[i][2] = max(f[i-1][1], f[i-1][2])

        return max(f[-1][1],f[-1][2])


if __name__ == '__main__':
    s = Solution()
    print(s.maxProfit([1,2,3,0,2]))

参考

https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown/solution/zui-jia-mai-mai-gu-piao-shi-ji-han-leng-dong-qi-4/