深入：最大子序列和（多种算法）

问题描述：

给定一个整数序列，a0, a1, a2, …… , an（项可以为负数），求其中最大的子序列和。如果所有整数都是负数，那么最大子序列和为0；

例如：对于序列-2， 11， -4， 13， -5， –2。 所求的最大子序列和为20（从11到13，即从a1到a3）。

用于测试下面代码的的主函数代码如下：（注意要更改调用的函数名）

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1. int main(int argc, char **argv)  
2. {  
3.      vector<int> a;  
4.     a.push_back(-2);  
5.     a.push_back(11);  
6.     a.push_back(-4);  
7.     a.push_back(13);  
8.     a.push_back(-5);  
9.     a.push_back(-2);  
10.     int result;  
11.     result = maxSubSum1(a); //在这里更改调用的函数名 cout<<result<<endl; //正确结果为 20 return 0;  
12. }  

方法一：对所有的子序列求和，在其中找到最大的

这是最容易想到的，也是最直接的，就是对所有的子序列求和，代码如下：

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1. int maxSubSum1( const vector<int> &a )  
2. {   
3.     int maxSum = 0;  
4.     for(int i=0; i<a.size(); i++ )  
5.     {   
6.         for(int j=i; j<a.size(); j++ )  
7.         {   
8.             int thisSum =0;  
9.             for( int k=i; k<=j; k++ )  
10.             {   
11.                 thisSum += a[k];   
12.             }  
13.             if(thisSum>maxSum)  
14.             {   
15.                 maxSum = thisSum;  
16.             }  
17.         }  
18.     }  
19.     return maxSum;  
20. }  

分析：

① 三层循环嵌套，时间复杂度为O(n^3)；

② 包含有大量的重复计算，例如i=1时： 当 j=3，则计算a1+a2+a3；j=4，则计算a1+a2+a3+a4；其中a1+a2+a3是重复计算的。

另一种思路：上面的方法在每一次循环中，固定i，并把a[i]当做起点，下面的方法将a[i]当做终点。

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1. int maxSubSum1_2( const vector<int> &a )  
2. {   
3.     int maxSum = 0;   
4.     for(int i=0; i<a.size(); i++ )  
5.     {   
6.         for(int j=0; j<i; j++ )  
7.         {   
8.             int thisSum =0;   
9.             for(int k=j; k<=i; k++)  
10.             {   
11.                 thisSum +=a[k]; //从节点j开始 累加到节点i  
12.                 if(thisSum>maxSum)  
13.                 {   
14.                     maxSum = thisSum;   
15.                 }  
16.             }  
17.         }  
18.     }  
19.     return maxSum;   
20. }  

方法二：从某点开始的所有序列中，找最大的

如果你意识到，子序列总要有一个位置开始，那么变换一下循环方式，只要求出在所有位置开始的子序列，找到最大的。代码如下：

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1. int maxSubSum2( const vector<int> &a )  
2. {   
3.     int maxSum = 0;  
4.     for(int i=0; i<a.size(); i++ )  
5.     {   
6.         int thisSum =0;  
7.         for(int j=i; j<a.size(); j++ )  
8.         {   
9.             thisSum +=a[j]; //从节点i开始 累加到结尾  
10.             if(thisSum>maxSum)  
11.             {   
12.                 maxSum = thisSum;   
13.             }  
14.         }  
15.     }  
16.     return maxSum;  
17. }  

分析：

① 两层循环嵌套，时间复杂度为O(n^2)；

② 虽然比方法一要少，但同样包含重复计算。例如：当i=1时，要计算a1+a2+a3+a4+……；当i=2时，要计算a2+a3+a4+……；其中a2+a3+a4+……是重复的。

注意：下面是一个错误的方法，因为它的起始点固定了，每次都从a0开始，是不能保证遍历所有的子序列的。

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1. int maxSubSum2_2( const vector<int> &a )  
2. {   
3.     int maxSum = 0;   
4.     for(int i=0; i<a.size(); i++ )  
5.     {   
6.         int thisSum =0;  
7.         for(int j=0; j<=i; j++ )  
8.         {   
9.             thisSum +=a[j]; //从节点0开始 累加到节点i  
10.             if(thisSum>maxSum)  
11.             {   
12.                 maxSum = thisSum;   
13.             }  
14.         }  
15.     }  
16.     return maxSum;  
17. }  

如果希望将固定终点，那么计算的时候就要从终点开始，依次往前累加。代码如下：

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1. int maxSubSum2_3( const vector<int> &a )  
2. {   
3.     int maxSum = 0;   
4.     for(int i=0; i<a.size(); i++ )  
5.     {   
6.         int thisSum =0;  
7.         for(int j=i; j>=0; j-- )  
8.         {//从节点i开始，向前累加到结尾0  
9.             thisSum +=a[j];  
10.             if(thisSum>maxSum)  
11.             {   
12.                 maxSum = thisSum;   
13.             }  
14.         }  
15.     }  
16.     return maxSum;  
17. }  

方法三：从某一个正数开始

第一步：

到目前为止，题目的信息你只用到了：“最小子序列之和为0”（若有一项大于0，那么子序列的和一定大于或等于该项，也就大于0；因为若所有项都是负数，那么结果为0

如果你再挖掘一下题意：你就会发现，如果a[i]是负的，那么a[i]一定不是最终所有结果子序列的起始点。代码可以改造为：

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1. int maxSubSum3_1( const vector<int> &a )  
2. {   
3.     int maxSum = 0;  
4.     for(int i=0; i<a.size(); i++ )  
5.     { //（相对方法2，新增）如果a[i]<=0,那么a[i]一定不是所要求的起点，所以直接跳过去（利用for循环中有i++）  
6.         if( a[i]<=0 )  
7.           continue;  
8.         int thisSum =0;  
9.         for(int j=i; j<a.size(); j++ )  
10.         {   
11.             thisSum +=a[j];  
12.             if(thisSum>maxSum)  
13.             {   
14.                 maxSum = thisSum;   
15.             }  
16.         }  
17.     }  
18.     return maxSum;  
19. }  

第二步：

如果你又再一步发现：任何负的子序列，不可能作为最优子序列的前缀。

又因为上一步已经保证，序列以正数开头a[i]>0，所以若a[i]到a[j]之间元素的序列和 thisSum<=0时，则i+1和j之间元素不会为最优子序列的前缀，可以让i=j，即不需要判断在i和j之间元素开头。代码如下

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1. int maxSubSum3_2( const vector<int> &a )  
2. {   
3.     int maxSum = 0;  
4.     for(int i=0; i<a.size(); i++ )  
5.     { //（相对方法2，新增）如果a[i]<=0,那么a[i]一定不是所要求的起点，所以直接跳过去（利用for循环中有i++）  
6.         if( a[i]<=0 )  
7.           continue;  
8.         int thisSum =0;  
9.         for(int j=i; j<a.size(); j++ )  
10.         {   
11.             thisSum +=a[j];  
12.             if(thisSum>maxSum)  
13.             {   
14.                 maxSum = thisSum;   
15.             }  
16.             else if( thisSum <= 0 )  
17.             { //（相对方法3_1 新添） thisSum = 0; i = j; }  
18.         }  
19.     }  
20.     return maxSum;  
21. }  

第三步：

如果你又进一步发现：因为要求序列开始元素大于0， 若以a[i]开头的序列，a[i]>0，那么可以知道，所求的最终子序列一定不会以a[i+1]开始， 因为若到相同的元素终止，那么从a[i]开始序列，一定大于从a[i+1]开始的序列。因为s[i, k]=s[i+1, k]+a[i] 例如：a1+a2+a3>0，而又由于这时a1>0, 那么所求子序列一定不会以a2开始，因为从a1开始会更大。 更进一步，如若一个子序列thisSum>0（其中thisSum是从第m项到第n项的和），那么序列一定不会以a[m]和a[n]之间的项开始。 因为一直thisSum第一个元素a[m]是大于0的，且以a[m]开始的所有子序列都是大于0的，因为若存在子序列小于0，就会提前返回了。 例如：若程序执行到thisSum （为a2+a3+a4），若thisSum>0，则能说明，a2>0，并且a2+a3>0， a2+a3+a4>0。那么 也可以跳过a[m]和a[n]之间的项，即另 i=j。

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1. int maxSubSum3_3( const vector<int> &a )  
2. {   
3.     int maxSum = 0;  
4.     for(int i=0; i<a.size(); i++ )  
5.     { //（相对方法2，新增）如果a[i]<=0,那么a[i]一定不是所要求的起点，所以直接跳过去（利用for循环中有i++）  
6.         if( a[i]<=0 )  
7.           continue;  
8.         int thisSum =0;  
9.         for(int j=i; j<a.size(); j++ )  
10.         {   
11.             thisSum +=a[j];  
12.             if( thisSum>0 )  
13.             { //（相对方法3_2 新添）  
14.                 if(thisSum>maxSum)  
15.                 { maxSum = thisSum; }  
16.                 i = j; //（相对方法3_2 新添）  
17.             }  
18.             else if( thisSum <= 0 )  
19.             { //（相对方法3_1 新添）   
20.                 thisSum = 0;   
21.                 i = j;  
22.             }  
23.         }  
24.     }  
25.     return maxSum;  
26. }  

第四步：

最后如果你又了解一些程序结构上的优化的知识，那么你会发现下面的问题：

① 循环的分支可以改变一下，去除嵌套分支结构。

② 判断语句的分支中有共同部分，( i=j )，可以抽取出来。

以上两步以后，循环部分的代码编程 变成：

[cpp]  view plain  copy

1. for(int i=0; i<a.size(); i++ )   
2. {   
3.       if( a[i]<=0 )   
4.         continue;   
5.       int thisSum =0;   
6.       for(int j=i; j<a.size(); j++ )   
7.       {   
8.         thisSum +=a[j];   
9.         if(thisSum>maxSum)   
10.             { maxSum = thisSum; }   
11.         else if( thisSum>0 )   
12.             { //do nothing }   
13.         else if( thisSum <= 0 )   
14.             { thisSum = 0; }   
15.             
16.                 i = j;   
17.       }   
18. }  

③ 下面这步非常重要，如果你发现，内层循环的循环变量j 和 外层循环的循环变量i同步增长，那么你是否能够想到，外层循环可能没有存在的必要。在这里到底能不能去除外层循环，取决于外层循环中是否有额外的工作要做。这里的额外工作是是if(a[i] <=0) 判断语句，如果你能发现内层循环的 if(thisSum < 0)的判断能够替代 if( a[i]<=0 ) 的工作。因为thisSum是由a[j]得到的。

到这里，代码就可以神奇的变为如下的形式：常量空间，线性时间

[cpp]  view plain  copy

1. int maxSubSum3_4( const vector<int> &a )   
2. {   
3.     int maxSum = 0;   
4.     int thisSum = 0;   
5.     for(int j=0; j<a.size(); j++ )   
6.     {   
7.         thisSum += a[j];   
8.         if(thisSum>maxSum)   
9.             { maxSum = thisSum; }   
10.         else if( thisSum>0 )   
11.             { //do nothing }   
12.         else if( thisSum < 0 )   
13.         { thisSum = 0; }   
14.     }   
15.     return maxSum;   
16. }  

分析：

① 只有一层循环，时间复杂度为O(n)。常量空间，线性时间，这是最优解法。