hdu 4786 Fibonacci Tree 思路

最新推荐文章于 2021-08-18 16:55:34 发布

正义的地球人

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分类专栏：图论

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探讨如何利用斐波那契数与生成树理论解决特定图论问题，通过Kruskal算法验证图的连通性，并确定生成树中白色边的数量是否符合斐波那契数列。

Description

　　Coach Pang is interested in Fibonacci numbers while Uncle Yang wants him to do some research on Spanning Tree. So Coach Pang decides to solve the following problem:
　　Consider a bidirectional graph G with N vertices and M edges. All edges are painted into either white or black. Can we find a Spanning Tree with some positive Fibonacci number of white edges?
(Fibonacci number is defined as 1, 2, 3, 5, 8, ... )

Input

　　The first line of the input contains an integer T, the number of test cases.
　　For each test case, the first line contains two integers N(1 <= N <= 10 ⁵) and M(0 <= M <= 10 ⁵).
　　Then M lines follow, each contains three integers u, v (1 <= u,v <= N, u<> v) and c (0 <= c <= 1), indicating an edge between u and v with a color c (1 for white and 0 for black).

Output

　　For each test case, output a line “Case #x: s”. x is the case number and s is either “Yes” or “No” (without quotes) representing the answer to the problem.

Sample Input

Sample Output

Case #1: Yes
Case #2: No
题意:
给你n个点，m条边，边有黑白两种颜色，问能否用这些边组成一个生成树，使其白色的边的个数为斐波拉切数（1,2,3,5）？
解题思路：
先用 kruskal跑一遍看图是否连通。然后只用白色边构图（用kruskal跑），看最多能用多少白色边（max），然后只用黑色边构图，看最少能用多少白色边（min）。最后枚举斐波拉切数，看是否有在这个范围内成立的斐波拉切数。
为什么找到了max图和min图就能保证一定存在这之间任意数量的白色边的图？
考察min图，加入一条未被用过的白色边，有两种情况
1：这个加入的边刚好覆盖在一条黑色边上，删除此黑色边即可得到min+1的图；
2：这个边没有覆盖任何边，那么只要能从联通这个边的两个节点的通路上删除一条黑色边，就可以min+1的图。假设不存在min+1的图，那么此通路上的所有边都是白色，那么直到把所有白色边都加入图中，任意白色边的两个端点间的通路就都没有黑色边。那么就会得到这样一种情况，最多只有一个节点既能连白色边，又能连黑色边，删除此节点，则得到两个不相连图，一个全是黑色边，一个全是白色边。对于这种情况，可以推出max=min，也就是说只要max>min，这个假设就是错的，所以min+1的图一定存在。
继续考察min+1的图，同上证明。。。可以证明白色边数量在min-max之间所有的图都存在。
好烦人的题目。。。

代码：
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
#include <algorithm>
#define maxn 100010
using namespace std;
int f[maxn],febo[50];
int n,m;
struct edge
{
    int u,v,c;
}e[maxn];
int find(int x)
{
    return f[x]==x?x:f[x]=find(f[x]);
}
int solve(int col)
{
    int num=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(e[i].c!=col)
        {
            int x=find(e[i].u),y=find(e[i].v);
            if(x!=y)
            {
                f[x]=y;
                num++;
            }
        }
    }
    return num;
}
int main()
{
    febo[0]=1,febo[1]=2;
    int num;
    for(num=2;;num++)
    {
        febo[num]=febo[num-1]+febo[num-2];
        if(febo[num]>100000)
        break;
    }
    int ncase,T=0;
    scanf("%d",&ncase);
    while(ncase--)
    {
        printf("Case #%d: ",++T);
        scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].c);
        int tmp,mi,ma,tru=0;
        tmp=solve(2);
        if(tmp!=n-1)
        {
            printf("No\n");
            continue;
        }
        ma=solve(0);
        mi=n-1-solve(1);
        for(int i=0;i<num;i++)
        {
            if(febo[i]>=mi&&febo[i]<=ma)
            {
                tru=1;
                break;
            }
        }
        if(tru)
        printf("Yes\n");
        else
        printf("No\n");
    }
    return 0;
}