移动传感器最大目标覆盖

移动无线传感器网络中的最大目标覆盖问题

摘要

我们提出并分析了一种在具有有限移动性传感器的无线传感器网络中出现的通用覆盖优化问题。给定一组需要被覆盖的目标和一组移动传感器，我们寻求一种传感器调度算法，在每个传感器的最大移动距离不超过给定阈值的约束下，最大化被覆盖的目标数量。我们证明该问题是NP难的。鉴于其计算复杂性，我们设计了四种算法以启发式或近似方式求解该问题。在近似算法中，我们首先提出了一种随机化的(1−1/e)‐最优算法。然后采用去随机化技术设计了一种确定性的(1−1/e)‐近似算法。此外，我们利用着色技术设计了一种确定性近似算法，其近似比接近 4−1，其中 4表示覆盖同一目标的最大子集数。还进行了实验，以验证这些算法在多种参数设置下的有效性。

关键词 ：近似算法；整数规划；移动传感器；目标覆盖；无线传感器网络

1. 引言

无线传感器网络（WSN）在过去二十年中受到广泛关注并得到了高度重视。由于成本低、灵活性高，它们被广泛应用于医疗保健[1,2],工业检测[3],环境监测[4,5],军事防御[6,7],农业监测[8,9]等多种应用场景。覆盖率作为无线传感器网络中的一个基本问题，直接影响网络的效率。根据感兴趣区域的不同，覆盖问题可分为区域覆盖[10,11],目标覆盖和屏障覆盖[12,13]。在区域覆盖中，整个二维/三维感兴趣区域（ROI）中的每个点都需要至少被一个传感器感知。在目标覆盖中，目标是确保位于感兴趣区域内的有限个点被覆盖。屏障覆盖主要关注检测跨越感兴趣区域边界的入侵行为。大多数关于部署问题的研究集中在区域覆盖上。然而，目标覆盖同样具有重要意义，因为它在实际应用中十分常见。例如，在信息采集中，仅需收集某些特定位置的信息。由于传感器可能被随机部署在较大区域中，通常需要重新定位一部分移动传感器，以确保对监测区域的有效覆盖。对于电池供电的传感器而言，移动过程中的能耗远高于感知和通信的能耗。因此，亟需高效的传感器移动和调度策略，在满足覆盖需求的同时节约能量，或在有限移动性条件下提升覆盖率质量[14–16]。

本文研究了移动无线传感器网络（MWSN）中具有有限移动性的传感器的目标覆盖问题。该网络模型首次在参考文献[17]中提出。在此网络模型中，目标会被以传感器为中心的圆盘所覆盖，即当目标位于传感器的圆盘范围内时，该目标被覆盖。如果移动传感器位于多个覆盖区域的重叠部分，则可以同时覆盖多个目标。监控区域被划分为多个子区域，其中每个子区域检测/覆盖不同的目标子集。廖等人[17]旨在在覆盖所有目标的前提下，最小化传感器移动距离的总和。考虑到并非总是有足够的传感器来覆盖所有目标，且每个传感器的能量有限，我们希望研究如何利用具有有限移动性的传感器覆盖尽可能多的目标。我们将此问题称为有限移动性下的最大目标覆盖（MTCLM）问题。据我们所知，该问题首次在本文中提出。我们证明了MTCLM问题是NP难的，并提出了四种算法，包括一种启发式算法和三种近似算法。该启发式算法是在当前选择具有最大增量收益的可用子集。近似算法包括一种随机化的(1 −1/e)近似算法，其中e表示自然对数的底；一种通过应用去随机化技术得到的确定性(1 −1/e)近似算法；以及一种基于图着色技术的确定性 4−1近似算法，其中 4是覆盖同一目标的最大子集数。近似算法通常与 NP难问题相关。由于无法在多项式时间内求解NP难问题，因此可在多项式时间内接受一个次优解。与启发式算法不同，近似算法能够获得具有质量保证的解，因此要求具备可证明的解质量和可证明的运行时间范围。

总之，本文的贡献如下：
1. 我们提出了MTCLM问题并证明其为NP难。
2. 我们为MTCLM问题提出了四种算法，包括一种启发式算法和三种近似算法。
3. 我们进行了实验以验证每种算法在不同条件下的有效性。

本文其余部分组织如下——第2节回顾相关工作。网络模型、问题描述及其复杂性在第3节中给出。第4节描述了我们为MTCLM问题提出的四种算法。第5节展示了仿真结果，并分析了所提出算法的性能。第6节对全文进行总结。

2. 相关工作

覆盖问题至关重要，因此文献中已开展了大量研究。关于无线传感器网络中覆盖问题的多篇综述论文已发表[18–22],，从不同角度总结了现有研究。参考文献[20]是2019年发表的最新一篇，它将相关论文归纳为三类覆盖协议：覆盖感知部署协议、睡眠调度协议和基于簇的睡眠调度协议。该文提出，无线传感器网络中更现实的模型是未来的研究方向。

参考文献[22]详细描述了无线传感器网络中的部署技术，包括遗传算法、计算几何、人工势场和粒子群优化，并将近期研究按技术分类。参考文献[18]主要总结了移动无线传感器网络（M‐WSNs）方面的研究。它指出，在M‐WSNs中解决这些问题主要有四种技术：优化技术、基于计算几何的技术、基于虚拟力的技术以及基于几何模式的技术。连通性通常在覆盖问题中被一并考虑[21]。与上述专注于确定性模型的论文不同，参考文献[19]总结了具有不确定性特性的覆盖问题及相关模型。尽管覆盖问题已受到广泛关注，但每当有新技术引入无线传感器网络时，仍会涌现出大量新的研究。例如，随着能量采集技术逐渐成熟，参考文献[23–28]提出了针对可充电无线传感器网络的覆盖问题研究。

大多数关于部署问题的研究集中在区域覆盖上。目标覆盖也是一个重要课题。大多数目标覆盖问题都是NP难问题，已应用了包括进化算法[11,29–32]和组合算法[17,33–36]在内的优化算法来解决这些问题。

提出了一种基于约束帕累托的多目标进化方法（CPMEA），以寻找帕累托最优布局，在保持传感器之间完全连通性的同时最大化覆盖率并最小化传感器的能耗[11]。在参考文献[29]中提供了一种集中式遗传方法，用于最小化传感器数量，并同时确保目标的K‐覆盖和M‐连通性。适应度函数被定义为三个因素的加权和：最小化传感器数量、最大化覆盖性能以及最大化通信连通性。达希亚等人[30]提出了一种算法，以最大化对移动目标的覆盖。他们通过对移动传感器轨迹上的点进行均匀采样，构建静态概率分布，从而固定目标位置的不确定性。在参考文献[32]中提出了一种基于粒子群智能（PSI）的部署算法，用于寻找覆盖给定目标所需的最少静态传感器数量。罗塞林等人[31]提出了一种睡眠调度协议，通过寻找不相交覆盖集来延长网络生命周期，同时满足覆盖性和连通性要求。考虑到一些关键目标未能被良好覆盖，他们将传感器分为四种类型，并设置其启发式值，特别处理了监测关键目标的传感器。

本文提出的网络模型最初由廖等人[17]提出。该论文证明了最小移动目标覆盖（MMTC）问题为NP难问题，并针对一种特殊情况（即任意两个目标之间的距离大于传感器感知半径的两倍）提出了扩展匈牙利方法，同时提出基于目标的Voronoi贪婪算法以解决MMTC的一般情况。另一篇文献[33]提出了一种通过最小化所需传感器数量的启发式解法。此外，该论文还考虑了网络连通性问题。陈等人[34],提出了MMTC的一个特殊情形——k‐sink MMTC问题，其中传感器位于k个基站处，且每个基站拥有无限数量的传感器，并提出一种PTAS以获得一个(1+ ε)近似解。文献[35]研究了受限移动性的MMTC问题，即传感器只能沿两个相互垂直的方向移动，并提出一种启发式算法来保证覆盖率和连通性。阮等人[36]提出了一个比MMTC更一般化的问题，称为具有有限移动传感器的最大加权目标覆盖与传感器连通性（TAR‐CC）问题，文中提出了基于最大覆盖的算法和基于Steiner树的算法。文献[37],还研究了目标覆盖问题中若干相关主题的复杂性，并通过将MMTC问题规约为最小几何圆盘覆盖问题，纠正了文献[17]中证明的错误。截至目前，尚未有针对MMTC问题的近似算法被提出。

在本文中，我们研究了MTCLM问题，即利用具有有限移动性的传感器覆盖尽可能多的目标，这与参考文献[36]中的最大加权目标覆盖问题不同，因为传感器的移动性受限，因此基于最大覆盖率的算法不再适用。

3. 预备知识与问题陈述

3.1. 网络模型与问题定义

我们研究以下模型中的MTCLM问题。所有网络节点均位于无障碍的监控区域内，包括传感器和目标。该网络表示为N(T, S, D)。 T={t1, t2,…, tN}是均匀且随机分布的N个目标的集合，每个目标具有已知位置。 S={s1, s2,…, sM}是一组M个同质移动传感器，其感知半径均为r，需进行调度以覆盖所有目标。采用圆盘模型，即当且仅当至少一个移动传感器的最终位置位于以目标t为中心、半径为r的圆盘内时，目标t被视为被覆盖。移动传感器具有已知初始位置，可向任意方向移动，并可在任何位置停止。在图1中，移动传感器s可以覆盖目标a、b、c，因为s同时位于圆盘O(a)、O(b)、O(c)内，其中O(t)是以目标t为中心、半径为r的圆盘。

一个目标t，其半径为r。因此，监控区域可被划分为多个子区域。在某些子区域中，一个目标子集被覆盖。设 U ⊆ T表示一个目标子集，R(U)为传感器覆盖该目标子集 U的对应子区域。令 SU={U | U ⊆ T和 R(U)= ⋂t∈UR(t)}表示监控区域内各子区域对应的子集集合。设K表示子区域/子集的数量，即 |SU| = K。

考虑到每个移动传感器的有限能量，我们提出了一个具有有限距离的移动传感器的最大目标覆盖问题。设 D={d1, d2,…, dM}为移动传感器相应的移动距离约束。具有有限移动性的传感器的最大目标覆盖问题定义如下：

定义 1. 有限移动性的最大目标覆盖（MTCLM）问题 ：给定位于监控域内具有已知位置的 M个移动传感器和N个目标，移动传感器是同质的且具有相同的感知半径。在传感器最大移动距离受限的情况下，寻找如何调度传感器以覆盖尽可能多的目标。

表1总结了本文使用的符号说明。

符号	定义
T	目标集合：{t1, t2,…, tN}
S	传感器集合：{s1, s2,…, sM}
D	传感器的距离约束：{d1, d2,…, dM}
U	传感器的子集： U ⊆ T
SU	子集集合：{U1,U2,…, UK}
M	传感器数量：
N	目标数量：
K	子区域数量：
r	传感器的感知半径
R(t)	目标t的感知区域
R(U)	所有 t ∈ U 的 R(t) 的交集

3.2. 问题的难度

我们通过将最小几何圆盘覆盖（MGDC）问题约简为MTCLM问题来证明MTCLM问题是NP难的，如参考文献[37]所述。MGDC问题是NP难的，其定义如下所示：

定义2。 最小几何圆盘覆盖问题（MGDC）[38] ：给定一个包含 m 个点P={p1, p2,…, pm}的集合、一个圆盘半径r以及一个常数k ∈Z+，是否存在一个中心C ={c1, c2,…, cn}，使得 P中的每个点都被以C中某个中心为中心的圆盘所覆盖，并且C的基数，即n，不超过k？

然后我们证明MTCLM问题是NP难的。

定理1. MTCLM问题是NP难的。

证明。 我们考虑MTCLM问题的一个特殊情况，即每个移动传感器的最大距离不受限制，也就是说，di= ∞对于di ∈ D，每个移动传感器总能够到达任意子区域以覆盖目标。通过将 MGDC问题归约到MTCLM问题的这一特殊情况，我们证明了MTCLM问题是NP难的。

给定一个如定义2所示的MGDC实例，我们构造一个MTCLM实例。在此实例中，存在M = n个移动传感器和N = m个目标；移动传感器的感知半径为r。中心C ={c1, c2,…, cn}是移动传感器的最终位置集合。如果该MGDC实例被满足，即存在 n ≤ k = M个圆盘覆盖了 P中的所有点，则必然存在少于M个传感器位于中心C ={c1, c2,…, cn}，且MTCLM问题中被覆盖的目标数量最大为N。反之，如果在MTCLM实例中被覆盖的目标的最大数量为m，则存在n ≤ k个中心能够覆盖 P中的所有点，此时该MGDC实例被满足。否则，如果在MTCLM实例中被覆盖的目标的最大数量小于m，则不存在n ≤ k个中心能覆盖 P中的所有点，此时该MGDC实例不被满足。

因此，MTCLM问题为NP难。

4. 算法

在本节中，我们针对MTCLM问题提出了四种算法，分别为一种启发式算法、一种随机近似算法、一种去随机化近似算法和一种确定性近似算法。给定一个MTCLM实例后，我们首先应找出各个子区域及其对应的子集，然后计算每个移动传感器ωij与每个子区域ij之间的最小距离。我们将使用文献[34]中提出的距离算法来解决上述两个问题，这将耗时O(MN²)。预处理完成后，我们将重点研究如何调度移动传感器以覆盖目标。

在移动距离约束下，传感器只能到达某些子区域。我们构造一个二分图G,((S, J U), E)。每个顶点 i ∈ S表示 S中的一个传感器。每个顶点 j ∈ JU表示覆盖一组目标 Uj ∈ SU的子区域。当传感器i与子区域R(Uj)之间的距离小于传感器i的约束移动距离时，即ωij ≤ di，顶点i与 之间存在一条边，其中ωij是在预处理中获得的传感器i与子区域j之间的最小距离。MTCLM问题转化为一个权重为子模的匹配问题。我们通过整数线性规划(ILP)对MTCLM问题进行如下建模：

$$
\max \sum_{t \in T} y_t, \quad (1)
$$
$$
\text{s.t.} \sum_{j \in JU} x_{ij} \leq 1 \quad \text{for every sensor } i \in S, \quad (2)
$$
$$
\sum_{i \in S} \sum_{j:t \in U_j ,(i,j) \in E} x_{ij} \geq y_t \quad \text{for every target } t \in T, \quad (3)
$$
$$
x_{ij} \in {0, 1} \quad i \in S, j \in J U, \quad (4)
$$
$$
y_t \in {0, 1} \quad t \in T, \quad (5)
$$

其中，yt ∈{0, 1}表示目标t ∈ T是否被覆盖。xij ∈{0, 1}表示传感器i ∈S是否被调度到子区域R(Uj) ， U j ∈ SU。第一个约束是可行性约束，第二个是覆盖约束。

4.1. 贪心算法

在本小节中，我们提出了一种启发式算法，该算法为每个传感器选择包含最多未被覆盖目标的可用子集。

在算法1中，设X={xij: (i, j) ∈ E, xij ∈{0, 1}}表示解。令ˆ Uj ⊆ Uj表示当前迭代中的未覆盖的目标， ∀j ∈ JU。令 CT ⊆ T表示被覆盖的目标。对于每个传感器i ∈ S，寻找具有最多未覆盖目标的可访问子集。该算法的时间复杂度为O(M ∗ N)。

算法1: MTCLM_贪心算法(G, SU)。

输入：图 G， SU
输出: X,CT.

1: X={xij← 0, ∀(i,j)∈ E};
2: CT ← ∅;
3: Uˆj←Uj, ∀j ∈ J U;
4: 对每个 i ∈ S执行
5: l ← arg maxj∈JU,(i,j)∈E| Uˆj |;
6: xil= 1;
7: CT ← CT ⋃Ul;
8: Uˆj← Uˆj\U l, ∀j ∈ J U;
9: 结束循环
10: return X, CT;

4.2. 随机算法

上述贪心算法无法保证算法性能。因此，我们提出了三种近似算法，能够确保近似解与最优值之间的偏差不超过一定范围。在本小节中，我们提出一种随机近似算法，以获得解的期望值相对于最优值的结果。

在此算法中，我们首先通过将约束(4)和(5)替换为xij ∈[0, 1]和yt ∈[0, 1]，得到整数线性规划（ILP）公式的线性规划松弛（LPR）的最优解{y∗t}以及{x∗ij}。然后，对于每个顶点i ∈ S，我们以概率x∗ij选择边(i, j)。在不改变近似比的情况下，通过避免覆盖相同的子集来调整被覆盖的目标。我们多次运行该算法，直到获得可接受的近似解。

定理2. 算法2是MTCLM问题的一个随机算法 (1 −1/e)-近似算法。

证明。 在此算法中，传感器i ∈ S覆盖目标t ∈ T的概率为∑j:t∈Uj ，(i,j)∈E x∗ ij，且每个传感器i ∈ S独立地发送以覆盖子集。因此，未覆盖目标t的总概率合计为 ∏i:(i,j)∈E(1 −∑j:t∈Uj x∗ ij)。根据算术‐几何平均不等式以及整数线性规划的覆盖约束，可以证明

$$
\prod_{i \in S:(i,j) \in E} (1 - \sum_{j:t \in U_j} x^ _{ij}) \leq (1 - y^ _t/m)^m,
$$

其中m表示图G中 SU内任意顶点的 。同样，代数上成立 1 −(1 −y ∗ t/m) m ≥y ∗ t ∗(1 −1/e)。因此，在该算法中覆盖目标t的概率为

$$
1 - \prod_{i \in S:(i,j) \in E} (1 - \sum_{j:t \in U_j} x^ _{ij}) \geq y^ _t (1 - 1/e)
$$

请注意，∑t∈T y ∗ t是LPR的最优值，大于ILP的最优值。设OPT表示ILP的最优值。则被覆盖目标的期望数量为

$$
\sum_{t \in T} (1 - \prod_{i \in S:(i,j) \in E} (1 - \sum_{j:t \in U_j} x^*_{ij})) \geq OPT ∗(1−1/e).
$$

随机化舍入算法给出一个随机化的(1 − 1/e)‐最优解。线性规划可以在多项式时间内求解，因此算法2也是如此。定理得证。

在算法2中，我们使用回收变量 max_round来避免传感器覆盖相同的子集，从而提高结果并减少实验中的不稳定性。

算法2: MTCLM_随机算法 (G, SU).

输入: 图 G, SU
输出：X，CT。

1: X={xij← 0: ∀i ∈ S, j ∈ J U};
2: CT ← ∅；
3: 计算线性规划的最优解 x∗，y∗；
4：对于每个 i ∈ S执行
5: 设置 max_round 为一个正常数。
6: 当 max _轮次 > 0do
7: 以概率 x∗ij 设置 xij= 1；
8: 如果 xkj= 0 ∀ k ∈[1,i −1] 那么
9: 设置xij= 1；
10: CT= CT ⋃Uj
11: 跳出；
12: else
13: 设置xij= 0
14: max_轮次 = max_轮次 −1;
15: 结束 if
16: 结束 while
17: 结束 for
18: 返回 X,CT;

4.3. 确定性算法

随机算法需要运行多次以减少不稳定性。去随机化算法虽然可以确定性地获得近似解，但在大多数情况下时间复杂度太高。在本小节中，我们提出一种确定性算法，以较低的时间复杂度获得接近 ∆−1的近似值，其中 ∆是覆盖同一目标的最大子集数。设 {y∗t | t ∈ T}和 {x∗ij | (i, j) ∈ E}表示LPR的最优解。我们将每个变量向上舍入到最接近的形如 a/H的分数，其中H是一个较大的整数，a是介于0和H之间的整数。数学上，令 ŷt, ⌈dy∗t He⌉/H，ˆxij的定义类似。（这种舍入会引入量化误差，我们将在后文进行分析）。对于图 G ,((S, J U), E)，我们将每个节点j ∈ J U复制为H ⌈ˆxij⌉个相同的节点，这些节点覆盖相同的目标集合，并将每个复制出的¯节点连接到j的邻居节点。我们将这个新图称为辅助图 Ḡ。然后我们对Ḡ进行边着色，使得在 S中共享同一顶点的任意两条边具有不同的颜色。我们可以证明，H种颜色已足够。通过鸽巢原理我们可以证明，总能找到一种颜色，其对应颜色的边所覆盖的 JU中的顶点至少覆盖了∑t∈T y ∗t /∆个目标，即∑i∈ S∑j∈JU:(i,j)∈E ˆxij ≥∑t∈ T y ∗t /∆。为了用反证法证明这一点，假设这不是真的。那么

$$
\sum_{i \in S} \sum_{t \in T} \sum_{j:t \in U_j ,(i,j) \in E} \hat{x} {ij} \leq \Delta \sum {i \in S} \sum_{j \in JU:(i,j) \in E} \hat{x} {ij} \leq \sum {t \in T} y^*_t.
$$

这与整数线性规划的约束条件(3)产生了矛盾。

上述分析直接表明，选择被着色诱导覆盖的边可得到 ∆−1‐最优解。该方法的更多应用可参见参考文献[39]。每个yt在舍入过程中最多增加1/H，因此目标函数最多增加N/H。考虑量化误差后，近似比为(1− N/H)∆−1。辅助图 Ḡ最多有M+ HN个节点和M ∗HN条边，使用贪心算法寻找合适的着色所需时间为O(MHN)。如果我们设定H= N²,，则近似比为(1−1/N)∆−1，时间复杂度为O(MN³)。由此我们得到定理4。

定理4. 算法4是一个近似的 ∆−1近似算法。

算法4: MTCLM_着色 (G, SU)。

输入：图 G， SU
输出：X，CT。

1: X={xij← 0: ∀i ∈ S，j ∈ J U}；
2: CT ← ∅；
3: 计算线性规划的最优解：x∗，y∗；
4: ŷt, ⌈dy∗tHe⌉/H;
5: ˆxij, ⌈dx∗ijHe⌉/H;
6：构建辅助图 Ḡ;
7: 获得一个合法着色 Ḡ贪婪地；
8: 对于 k ∈[1,H] 执行
9: 计算每种着色所覆盖的目标数量 k；
10: 结束循环
11：获取被覆盖目标数量最多的着色 q；
12：获取图中由q着色的边 Eq Ḡ;
13: 对于 (i,j′) ∈ Eq do
14: 如果 j′是图 G中节点j的重复节点，则
15: 设置xij= 1;
16: CT= CT ⋃Uj;
17: 结束 if
18: 结束 for
19: 返回 X, CT;

5. 仿真实验

尽管我们提出的某些算法的性能已在理论上得到证明，但为了比较这些算法、验证其有效性并展示某些参数的影响，我们仍使用Matlab进行了一系列仿真实验。我们考虑了四个可能影响被覆盖目标数量的网络参数：目标数量M、传感器数量N、监控区域大小以及移动距离约束 D。在实验中，200个目标和20个移动传感器被均匀且随机地生成在一个 200米 × 200米的方形区域内。传感器的覆盖半径为r= 20米，其移动距离约束为40 米。尽管每个传感器的移动距离约束可以不同，但在我们的实验中假设它们相同。为了测试每个参数的影响，我们在实验中改变该参数，同时保持其他参数不变。对于每种网络参数组合，我们随机生成十个网络实例，并报告其平均性能结果。结果如下面的图2所示。

在图2中，我们计算了所提出算法的结果，并将其与最优解进行比较。最优解可通过使用 Matlab工具箱“Yalmip”获得，Yalmip是由洛夫伯格开发的一种免费优化求解工具。

在图2a中，目标数量从100变化到250。在图2b中，考虑了四种不同的传感器数量，分别为N= 10、20、30、40。我们可以观察到，当目标数量增加或传感器数量增加时，被覆盖的目标数量也随之增加。

在图2c中，考虑了四种不同大小的区域，分别为200 m × 200 m、400 m × 400 m、600 m × 600 m、800 m × 800 m。我们观察到，当监控区域大小增加时，被覆盖的目标数量减少。这是容易理解的：当监控区域大小增加而目标数量保持不变时，目标的平均密度降低。子集中目标的平均数量减少，因此被覆盖的目标总数也随之减少。

在图2d中，移动距离约束从10变化到60。可以观察到，当移动距离约束增加时，被覆盖的目标数量增加，但增长速率会变得较慢。

表示目标数量的影响；(b)表示传感器数量的影响；(c)表示区域大小的影响；(d)表示传感器移动距离约束的影响)

在仿真实验中，我们通过四种算法获得的最大覆盖目标数均小于最优解。我们计算了每种算法的性能下界，即算法解与实验数据中最优解的最小比值。表2列出了每种算法的性能下界：

算法名称	性能下界
MTCLM_贪心算法	0.78
MTCLM_随机算法	0.75
MTCLM_去随机化	0.91
MTCLM_着色	0.86

近似比是性能下界，例如，在最大化问题中，算法的近似比 α表示该算法得到的近似解至少是最佳解的 α倍。请注意，算法MTCLM_RANDOM 和 MTCLM_DERANDOMIZED 的近似比为 1 −1/e ≈ 0.63，算法MTCLM_COLOUR 的近似比为 ∆−1 ≤ 0.5，其依赖于参数 ∆，其中 ∆表示覆盖同一目标的最大子集数。如表2所示，算法性能的实验下界符合理论分析。此外，我们可以看到，MTCLM_GREEDY算法在区域大小较小且目标数量和传感器数量保持不变时表现相对较差。这是因为在目标和传感器的密度较高时，不能仅仅贪心地选择目标区域，而需要依赖全局信息。MTCLM_RANDOM算法的性能具有一定的随机性。MTCLM_DERANDOMIZED算法的性能最好，但其时间复杂度高于其他算法。MTCLM_COLOUR算法的表现优于理论分析结果，有两种可能：一是尚未找到最坏情况下的示例，二是存在对MTCLM_COLOUR算法更精确的近似分析方法，值得进一步研究。

结合理论分析，我们了解到如何根据实际情况从这四种算法中选择合适的算法。当精度要求不高而时间要求非常严格时，MTCLM_GREEDY算法和MTCLM_RANDOM算法是较好的选择。因为这两种算法仅需线性时间复杂度，但MTCLM_GREEDY算法无法获得可证明的性能，而MTCLM_RANDOM算法的性能具有随机偏差。当目标密度不大，即参数 ∆较小时，MTCLM_COLOUR算法将表现出良好的性能。当一个传感器只能覆盖常数个目标区域，即用参数n表示的传感器可覆盖的目标区域数量为常数时，MTCLM_DERANDOM算法的时间复杂度不高，并且可以获得较好的近似比。

6. 讨论

本文首次提出了MTCLM问题，旨在在有限移动性约束下，通过传感器最大化被覆盖的目标数量，适用于提升不足传感器的利用效率。考虑到MTCLM问题属于NP难问题，且实际应用中对时间和性能的要求各不相同，我们提出了四种算法，并对其中三种算法的性能提供了理论证明。通过理论与实验分析，我们也为实际场景中的算法选择提供了方向。此外，所提出的解决方案可适用于解决具有相同模型的相关资源分配问题。未来，研究具有更优近似比的高效算法将十分有意义。