Fibonacci数列取余(蓝桥杯习题)

该博客探讨了Fibonacci数列在大数情况下求模运算的优化方法,指出直接计算余数通常比先计算原数再取余更简便。博主分享了一道蓝桥杯习题,要求计算Fn除以10007的余数,并给出了一个简单的Java程序实现,同时提到了两种聪明的优化解决方案。

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问题描述

Fibonacci数列的递推公式为:Fn=Fn-1+Fn-2,其中F1=F2=1。

当n比较大时,Fn也非常大,现在我们想知道,Fn除以10007的余数是多少。

输入格式

输入包含一个整数n。

输出格式

输出一行,包含一个整数,表示Fn除以10007的余数。

说明:在本题中,答案是要求Fn除以10007的余数,因此我们只要能算出这个余数即可,而不需要先计算出Fn的准确值,再将计算的结果除以10007取余数,直接计算余数往往比先算出原数再取余简单。

样例输入

10

样例输出

55

样例输入

22

样例输出

7704

数据规模与约定

1 <= n <= 1,000,000。

 

 

我是一个笨人,所以,我的程序是

import java.util.Scanner;
public class fibonacci {
 public static void main(String args[]){
  Scanner input=new Scanner(System.in);
  int n=input.nextInt();
  int a[]=new int[n+1];
  a[1]=1;
  a[2]=1;
  for (int i=3;i<=n;i++){
   a[i]=a[i-1]+a[i-2];
  }
  System.out.println(a[n]%20);
 }

}

但我看到两个很

### Java 实现斐波那契数列蓝桥杯题目及解答 #### 题目描述 给定正整数 \( n \)斐波那契数列的第 \( n \) 项。 注意:由于结果可能会非常大,因此要输出的结果是对 10007 模后的值。 输入格式:单个整数 \( n \) (\( 1 \leq n \leq 1,000,000 \))。 输出格式:一个整数,表示斐波那契数列第 \( n \) 项对 10007 的模结果。 --- #### 解决方案 以下是基于动态规划的思想来解决该问题的一种高效方法: ```java import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner input = new Scanner(System.in); int n = input.nextInt(); // 初始化数组大小为 n+2 是为了方便索引操作 int[] F = new int[n + 2]; F[1] = 1; F[2] = 1; if (n > 2) { for (int i = 3; i <= n; i++) { F[i] = (F[i - 1] + F[i - 2]) % 10007; } } System.out.println(F[n]); } } ``` 上述代码通过循环迭代的方式计算斐波那契数列中的每一项,并利用模运算防止溢出[^1]。这种方法的时间复杂度为 \( O(n) \),空间复杂度也为 \( O(n) \)。 如果希望进一步优化空间复杂度,则可以仅保留最近的两项来进行状态转移: ```java import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner input = new Scanner(System.in); int n = input.nextInt(); if (n == 1 || n == 2) { System.out.println(1); return; } int prev1 = 1; // 表示 F(i-1) int prev2 = 1; // 表示 F(i-2) for (int i = 3; i <= n; i++) { int current = (prev1 + prev2) % 10007; prev2 = prev1; prev1 = current; } System.out.println(prev1); } } ``` 此版本的空间复杂度降低至 \( O(1) \)[^4],而时间复杂度仍保持为 \( O(n) \)。 --- #### 黄金分割比例的应用 对于较大的 \( n \),可以直接近似使用黄金分割比例 \( \phi = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.6180339887 \) 来估算斐波那契数列的比例关系。然而,在实际编程比赛中通常不会采用这种方式,因为浮点误差可能导致精度不足[^2]。 --- #### 大规模数据处理注意事项 当 \( n \) 较小时,直接存储整个序列即可;但如果 \( n \) 很大(例如达到百万级别),则需特别关注内存占用以及性能瓶颈。此外,还需考虑中间结果是否会超出 `long` 数据类型的范围。在这种情况下,提前对每一步结果进行模是一种常见且有效的策略[^5]。 ---
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