对一道微软面试题的思考

在论坛上，我看到大家在讨论一道微软面试题： 有100万个数字（1到9），其中只有1个数字重复2次，如何快速找出该数字。大家讨论的很激烈，也给出了很多的算法。

lthyxy同学的算法是：扫描一遍做计数，然后看那个数的计数器是2。程序如下：

int num[10] = {0};
for(int i = 0; i<1000000;++i) //a[i]就是你那些数 
	num[a[i]]++;
for(int i = 1; i <= 9; ++i)
	if(num[i] == 2) 
		cout << i << endl; 

jernymy同学的算法复杂一些：定义9个数组，记录1-9的出现的数字做标记，出现一次则，对应数组加1， 超过2次，在下次循环直接结束，这样一共直到记录8个数字后，直接打印第9个数字，就是一共只会出现2次的数字了。程序请看他的博客：http://blog.youkuaiyun.com/jernymy/article/details/6639534#reply。

经过一番分析，我发现jernymy同学的算法是正确的。因为100万相对于1到9来说，是个非常巨大的数字。从概率的角度来分析，很有可能在扫描到1000个数的时候，就会发现有8个数字的重复次数都超过2，因此剩下的那个数字就是需要查找的那个数。具体概率分析如下：

假定9这个数字只重复2次，而且还不在这前1000个数里面，那么剩下的1到8这8个数字，重复的次数有一个不超过2的概率是：

1. 总的概率是：8的1000次方。

2. 8个数字中有一个不超过2的概率：

     1）该数字没有出现：7的1000次方

     2）该数字出现一次：1000×7的999次方，约等于1000×7的1000次方

     3）该数字出现两次：1000×999×7的998次方，约等于1000×999×7的1000次方

     合计大约等于：1000×1000×7的1000次方

     因为有8个数，因此总的数是：8×1000×1000×7的1000次方

3. 计算出来的概率是：（8×1000×1000×7的1000次方）/（8的1000次方）约等于8.15e-52。

可以看出，在扫描到1000数的时候，出现8个数字中有一个数字重复不超过两次的概率大约为8.15e-52，这个概率也太低了。也就是说，在绝大部分情况下，不用扫描1000个数，就可以得出结论了，根本就不需要扫描100万次。这也是我赞同jernymy同学的算法的主要原因。