最大子段和——分治与动态规划

最大子段和算法

最新推荐文章于 2022-01-10 21:16:43 发布

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本文介绍了求解最大子段和问题的三种算法：简单算法、分治法和动态规划算法。简单算法的时间复杂度为O(n^2)，分治法的时间复杂度为O(nlogn)，而动态规划算法的时间复杂度为O(n)。通过实例说明了每种算法的具体实现过程。

来自：http://www.cnblogs.com/hustcat/archive/2009/06/01/1493949.html

问题：

给定n个整数（可能为负数）组成的序列a[1],a[2],a[3],…,a[n],求该序列如a[i]+a[i+1]+…+a[j]的子段和的最大值。当所给的整均为负数时定义子段和为0，依此定义，所求的最优值为：

   Max{0,a[i]+a[i+1]+…+a[j]},1<=i<=j<=n
    例如，当（a1,a2,a3,a4,a4,a6）=(-2,11,-4,13,-5,-2)时，最大子段和为20。

问题求解：

/*简单算法: **v[0]不保存数据 **T(n)=O(n^2). */ int MaxSum(int *v,int n,int *besti,int *bestj) { int sum=0; int i,j; for (i=1;i<=n;i++) { int thissum=0; for (j=i;j<=n;j++) { thissum+=v[j]; if (thissum>sum) { sum=thissum; *besti=i; *bestj=j; } } } return sum; } /*分治法: **将a[1n]分成a[1n/2]和a[n/2+1n],则a[1n]的最大字段和有三种情况: **(1)a[1n]的最大子段和与a[1n/2]的最大子段和相同 **(2)a[1n]的最大子段和与a[n/2n]的最大子段和相同 **(3)a[1n]的最大子段和为ai++aj,1<=i<=n/2,n/2+1<=j<=n **T(n)=2T(n/2)+O(n) **T(n)=O(nlogn) */ int MaxSum_DIV(int *v,int l,int r) { int k,sum=0; if(l==r) return v[l]>=0?v[l]:0; else { int center=(l+r)/2; int lsum=MaxSum_DIV(v,l,center); int rsum=MaxSum_DIV(v,center+1,r); int s1=0; int lefts=0; for (k=center;k>=l;k--) { lefts+=v[k]; if(lefts>s1) s1=lefts; } int s2=0; int rights=0; for (k=center+1;k<=r;k++) { rights+=v[k]; if(rights>s2) s2=rights; } sum=s1+s2; if(sum<lsum) sum=lsum; if(sum<rsum) sum=rsum; } return sum; } /*动态规划算法: **b[j]=max{a[i]++a[j]},1<=i<=j,且1<=j<=n,则所求的最大子段和为max b[j]，1<=j<=n。 **由b[j]的定义可易知，当b[j-1]>0时b[j]=b[j-1]+a[j]，否则b[j]=a[j]。故b[j]的动态规划递归式为: **b[j]=max(b[j-1]+a[j],a[j])，1<=j<=n。 **T(n)=O(n) */ int MaxSum_DYN(int *v,int n) { int sum=0,b=0; int i; for (i=1;i<=n;i++) { if(b>0) b+=v[i]; else b=v[i]; if(b>sum) sum=b; } return sum; }